Schnittgerade g aus Gleichung der Menge aller Ebenen

Question

Aufgabe:

Für jedes t ∈R ist eine Ebene ε_t durch die Gleichung (11-10t) ∙ y +3z = 41-10t gegeben. Die Menge aller Ebenen ε_t hat eine gemeinsame Schnittgerade g. Beschreiben Sie die Lage der Ebenen ε_t und der Schnittgerade g im Koordinatensystem.

Problem/Ansatz:

Das grundsätzliche Problem ist, dass ich keinen Ansatz habe, die Schnittgerade g zu bestimmen. Ich habe versucht, mir zwei Ebenen dieser Menge der Ebenen zu nehmen, allerdings komme ich auf kein sinnvolles Ergebnis. Zudem ist die Schnittgerade g der Menge aller Ebenen gefordert und nicht nur zweier Ebenen, wie ich es zunächst versucht habe. Ich bin am Verzweifeln. Was ist der richtige Ansatz der Lösung der Aufgabe?

Answer 1

Die Gleichung der Ebenenschar enthält nicht die Koordinate x. Daher sind alle Ebenen parallel zur x-Achse. Daher müsste auch die Schnittgerade parallel zur y-Achse liegen.

(11 - 10·a)·y + 3·z = 41 - 10·a
(11 - 10·b)·y + 3·z = 41 - 10·b

II - I

y·(10·a - 10·b) = 10·a - 10·b
y·(10·a - 10·b) - (10·a - 10·b) = 0
(y - 1)·(10·a - 10·b) = 0 → y = 1 da a ≠ b

(11 - 10·a)·1 + 3·z = 41 - 10·a → z = 10

Schnittgerade ist daher

gs: X = [0, 1, 10] + r * [1, 0, 0]