Unbestimmtes Integral berechnen: 1/(e^x + 2023) im Nenner

Question

Aufgabe:\( \int\limits_{}^{} \) 1/(e^x + 2023)

Ich benötige Hilfe dabei, dieses unbestimmte Integral zu berechnen.

Vielen herzlichen Dank für jede Hilfe.

Comments

mit Weg:

https://www.integralrechner.de/

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Da du es hast durchgehen lassen : Der FS hat Zähler und Nenner verwechselt.

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Wieder einmal verstehe ich Sie nicht.

Die Aufgabe steht klar lesbar da und wohl jeder weiß, was gemeint ist.

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Falls \(\displaystyle\,\int\frac1{\mathrm e^x+2023}\,\mathrm dx\,\) gemeint ist:$$\quad\int\frac{2023}{\mathrm e^x+2023}\,\mathrm dx=\int\frac{\mathrm e^x+2023-\mathrm e^x}{\mathrm e^x+2023}\,\mathrm dx=\int\left(1-\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+2023}\right)\mathrm dx\\=\int1\,\mathrm dx-\int\frac{\mathrm e^x}{\mathrm e^x+2023}\,\mathrm dx.$$Das letzte Integral lässt sich relativ leicht mit der Substitution \(z=\mathrm e^x+2023\) lösen.

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Was soll sonst gemeint sein?

Nur Formalfetischisten monieren das vergessene dx.

Oblivisci humanum est.

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Wieder einmal verstehe ich Sie nicht.

Offensichtlich.

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Diese Antwort verstehe ich ebenfalls nicht.

Wieso machen Sie aus 1 plötzlich 2023 im Zähler?

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Wieso machen Sie aus 1 plötzlich 2023 im Zähler?

Macht er nicht, denn vor seiner 2. Zeile steht kein Gleichheitszeichen.

Es handelt sich um einen sehr hilfreichen Hinweis als Vorbetrachtung zur Lösung.

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\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{1}{e^x +2023} \)dx

Es tut mir Leid, ich habe tatsächlich das dx vergessen.

Vielen Dank für jede Antwort.

Meine Lösung wäre folgende:

Substitution mit

u = e^x +2023

du = e^x dx

\( \int\limits_{}^{} \)\( \frac{1}{u} \)du = ln|u|+ C

Rücksubstitution:

ln|e^x+2023| + C

Allerdings scheint das Ergebnis ja laut Integralrechner und Antworten hier nicht zu stimmen. Leider verstehe ich nicht, warum. Könnte mir bitte jemand das erklären?

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Der Rechner beschreibt doch den Weg sehr ausführlich.

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Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe wie man von

\( \frac{1}{2023} \)\( \int\limits_{}^{} \)(1 - \( \frac{e^x}{e^x + 2023} \))dx

auf I = \( \frac{x - ln(e^x +2023)}{2023} \) + C kommt.

Oder wie aus dem Integralrechner:

Von hier

[ln (1 - \( \frac{2023}{e^x + 2023} \))]/2023

auf hier I = \( \frac{x - ln(e^x +2023)}{2023} \) + C kommt.

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@ggT22: Ja, der Rechner beschreibt den Weg ausführlich und schlüssig, wobei ich den letzten Schritt nicht verstehe.

Aber trotzdem, kann ich nicht verstehen, warum meine 'Lösung' falsch ist. Ich meine, klar mit HIlfe vom Rechner oder von hier, weiß ich, dass meine Lösung falsch ist. Aber in der Klausur kann ich ja nichts abgleichen und ich würde gerne verstehen wollen, warum meine Lösung falsch ist.

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Bei deiner Lösung hast Du dx =du/e^x falsch ersetzt:

∫ 1/u du/e^x

genau deshalb wird in den Antworten im Zähler e^x eingefügt

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\frac{1}{e^x+2023}\,dx=\frac{1}{2023}\int\frac{2023}{e^x+2023}\,dx=\frac{1}{2023}\int\frac{(\pink{e^x}+2023)\pink{-e^x}}{e^x+2023}\,dx$$$$\phantom I=\frac{1}{2023}\int\left(1-\frac{e^x}{e^x+2023}\right)dx$$

Das Integral über den Bruch ist ein Standard-Integral der Form:$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+\text{const}$$sodass für das gesuchte Integral folgt:$$I=\frac{x-\ln(e^x+2023)}{2023}+\text{const}$$

Comments

Und was soll das, was Arsinoé4 verzapft hat?

Das Chaos vollenden?

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Frag mich nicht, ich bin nicht für die Kommentare von anderen verantwortlich.

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Und was soll das, was Arsinoé4 verzapft hat?

Alles, was er 'verzapft' hat, ist richtig und als Hinweis zur Weiterverarbeitung brauchbar.

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Alles, was er 'verzapft' hat, ist richtig

Die Aufgabe ist klar gestellt. 2023 steht nicht im Zähler.

Da gibt es nichts zu vermuten, bloß weil es dann viel einfacher wird mit etwas

Rumspielen.

Man muss "nur" auf die banale Anders-Schreibweise kommen,

was für Geübte kein Problem ist. Sie sehen es sofort, Ungeübte nicht.

Die entscheidende Überlegung ist: Wie schaffe ich es, dass die Ableitung des Nenners

im Zähler steht, dann ist es trivial.

Alles nur mit Wasser gekocht, was genial aussieht.

Answer 2

Hallo,

Ich habe Die mal den Weg aufgeschrieben, so wie es richtig ist:

Comments

Wenn ich deine Stammfkt. ableite, habe ich e^x im Zähler.

Das darf aber nicht sein.

ln(gx) ->  g'(x)/ g(x) mit g'(x) = e^x

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Danke, danke sehr!

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@ JUI: gern doch :)