Taylorreihe und Taylorpolynom - Unterschied?

Question

Es sei $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definiert durch $f(x)=\ln (x)$ und $x_{0}=5$.

i) Bestimmen Sie das Tayloypolynom 3. Grades von $f$ mit Entwicklungspunkt $x_{0}$.
ii) Bestimmen Sie die Taylorreihe von $f$ um den Entwicklungspunkt $x_{0}$.

Ich kenne die Formel $T\left(x, f, x_{0}\right)=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n !}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ zur Berechnung des Taylorpolynoms. Wie sieht es denn aus mit der Taylorreihe ?

Ich erkenne den Unterschied zwischen den beiden Aufgaben nicht.

Bei i) soll ich das Taylorpolynom 3. Grades berechnen, was im Endeffekt wäre :

$T_{3}\left(x, f, x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right)}{3 !}\left(x-x_{0}\right)^{3}$

Hierfür müsste ich doch nur bis zur 3. Ableitung berechnen und $x_{0}$ = 5 einsetzen. Am Ende kommt das alles in die oben genannte Formel. Dadurch erhält man das Taylorpolynom 3. Grades.

Wie wäre denn Aufgabe b ? Was wäre denn der Unterschied zwischen dem Taylorpolynom und der Taylorreihenentwicklung ?

Answer 1

Die Taylorreihe ist, wie der Name schon sagt, eine Reihe. Also eine unendliche Folge von Partialsummen.

Ein Taylorpolynom ist, wie der Name schon sagt, ein Polynom. Also eine gewichtete Summe von Potenzfunktionen. Insbesondere hat ein Taylorpolynom nur endlich viele Summanden.

Comments

Danke für die Antwort.

Eine Erklärung anhand des Beispiels wäre mir lieber für die einfachere Verständlichkeit.
Mein o.g. Taylorpolynom dürfte richtig sein mit der "Musterformel" ?
Wie wäre denn die Vorgehensweise bei der Taylorreihenentwicklung ?

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das Taylorpolynom 3. Grades berechnen, was im Endeffekt wäre :

$T_{3}\left(x, f, x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !}\left(x-x_{0}\right)^{2}+\frac{f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right)}{3 !}\left(x-x_{0}\right)^{3}$

Ja.

Um das Taylorpolynom aufstellen zu können benötigst du eine Formel für $f^{(n)}(x_0)$.