Bestimmen von QR-Zerlegung (A = QR) einer Matrix

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine QR-Zerlegung (A = QR) der Matrix

A := \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich die QR-Zerlegung irgendwie mit dem Gram-Schmidt-Verfahren lösen soll beziehungsweise kann, aber wie? Gibt es noch andere Wege?

Comments

Was soll R sein?

evtl. normaler Gauss....?

---

Also ich könnte dir nur das Householder- Verfahren oder Givens-Rotation zur QR zerlegung anbieten

Answer 1

Wenn Q orthogonal sein soll:

Gram-Schmidt zu

\(\small Q:=\left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{-\sqrt{2}}{6}\\\frac{2}{3}&\frac{-1}{\sqrt{2}}&\frac{-\sqrt{2}}{6}\\\frac{1}{3}&0&2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{3}\\\end{array}\right)\)

https://www.geogebra.org/m/vm6vr9vb

Achtung:
Die App Gramt mit Zeilenvektoren
- A ist transponiert (Transpose({{2,1,0},{2,-1,0},{1,0,1}})) einzugeben und Du erhältst Q=O3^T

A = Q R ===> Q^T A = R

Givens-Rotation

https://www.geogebra.org/m/f2t62ad9

\(\small \left\{ \left(\begin{array}{rrr}\frac{2}{3}&\frac{-1}{2} \; \sqrt{2}&\frac{-1}{6} \; \sqrt{2}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{2} \; \sqrt{2}&\frac{-1}{6} \; \sqrt{2}\\\frac{1}{3}&0&\frac{2}{3} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{rrr}3&0&\frac{1}{3}\\0&-\sqrt{2}&0\\0&0&\frac{2}{3} \; \sqrt{2}\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}2&1&0\\2&-1&0\\1&0&1\\\end{array}\right) \right\} \)