Aufgabe:
Ich habe nur zwei Fragen zu der Lösung der Aufgabe. Wieso ist bei lambda=1 x2=0 und x1=x3.
Die zweite Zeile sagt doch, dass x2=1 ist?
Und in der 1. ist ja x1=-x3?
Genauso wie bei lambda=2, da müsste für mich x1=1 sein und 1/2x2=-x3?
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
2. Die Eigenvektoren bestimmen wir durch Bestimmen des Kerns von \( A-\lambda \mathbb{I}_{n} \). Dafür bestimmen wir von \( A-\lambda \mathbb{I}_{n} \) jeweils die Zeilenstufenform.
- \( \lambda=1 \) :
\( \left(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{3}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \end{array}\right) \stackrel{I I I+\frac{1}{2} \cdot I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{3}{2} & -1 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{array}\right) \stackrel{I I-I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{array}\right) \stackrel{I I I-\frac{1}{2} \cdot I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
(2 Punkte)
Aus der zweiten Zeile ergibt sich \( x_{2}=0 \) und aus der ersten dann \( x_{1}=x_{3} . x_{3} \) kann beliebig gewählt werden, mit \( x_{3}=1 \) erhält man den Eigenvektor \( (1,0,1)^{T} \).
(2 Punkte)
- \( \lambda=2 \) :
\( \left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \stackrel{I I I+\frac{1}{2} \cdot I I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & \frac{1}{2} & -1 \end{array}\right) \stackrel{I I I-I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \stackrel{I I-I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} 0 & \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
(2 Punkte)
Aus der zweiten Zeile ergibt sich \( x_{1}=0 \) und aus der ersten \( \frac{1}{2} x_{2}=x_{3} \). \( x_{3} \) kann beliebig gewählt werden, mit \( x_{3}=1 \) erhält man den Eigenvektor \( (0,2,1)^{T} \).
(2 Punkte)
- \( \lambda=3 \) :
\( \left(\begin{array}{ccc} -1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 1 & -\frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \end{array}\right) \stackrel{I I+I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{4} & -\frac{3}{2} \end{array}\right) \stackrel{I I I-\frac{1}{2} \cdot I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \stackrel{I I-2 \cdot I I I}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc} -1 & \frac{1}{2} & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \)
(2 Punkte)
Aus der dritten Zeile ergibt sich \( x_{3}=0 \) und aus der ersten dann \( x_{1}=\frac{1}{2} x_{2} . x_{2} \) kann beliebig gewählt werden, mit \( x_{2}=2 \) erhält man den Eigenvektor \( (1,2,0)^{T} \).
