Eindeutigkeit der algebraischen Darstellung der komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Eindeutigkeit der algebraischen Darstellung der komplexen Zahlen

(Im Skript ist das nur eine Eingangsbemerkung, die damit beginnt, dass z = x + yi im Körper enthalten ist. Es soll dann die Eindeutigkeit der Darstellung gezeigt werden.)

Problem/Ansatz:

wenn man zunächst nur annimmt, dass K ein Erweiterungskörper von den reelen Zahlen ist, sodass i²=-1 gilt, wie zeigt man dann, dass die Darstellung a+bi eindeutig ist?

Im Skript steht, dass aus a+bi = x+yi folgt, dass (x-a)² = -(b-y)² und daraus folgt x=a und y=b. Die letzte Folgerung kann ich mir nicht ganz herleiten.

Mein Ansatz ist:

Da a, b, x, y reele Zahlen sind, ist auch das Quadrat größer gleich null. Also haben wir einen Ausdruck der Form p = -q, wobei p und q größer gleich null sind.

Ist nun p > 0, dann folgt p + q > 0 und damit p > -q (Widerspruch).

Ist q > 0, dann folgt aus -p=q, dass q + p > 0 und somit q > -p (Widerpruch).

Also muss p = q = 0.

Ist das so richtig? Geht das auch einfacher?

Danke im Voraus.

Answer 1

Ein Quadrat soll gleich einem negativen Quadrat sein. Das geht nur, wenn beide Quadrate Null sind.

Answer 2

\(\mathbb{R}_{\geq 0}\cap -\mathbb{R}_{\geq 0}=\{0\}\).

Eine Alternative wäre zu zeigen, dass 1 und i

\(\mathbb{R}\)-linear unabhängig sind.