Aufgabe:
Es seien $$ a, b, c, d \in \mathbb{R} $$ mit a < b und c < d und $$ f \in C^1([a,b] \times [c,d]) $$. Zeigen Sie:
$$ \frac{d}{dt} \int_0^1 f(x,t)dx = \int_a^b f_t(x,t)dx \quad \text{für alle } t \in (c,d). $$
$$ \frac{d}{dt} \int_0^1 f(x,t)dx = \int_a^b f_t(x,t)dx \quad \text{für alle } t \in (c,d). $$
Um dies zu zeigen, betrachten wir die Funktion \(F(t) = \int_0^1 f(x,t)dx\). Wir möchten die Ableitung \(\frac{d}{dt} F(t)\) berechnen.
Durch Anwendung des Satzes über die Ableitung unter dem Integralzeichen (Leibniz-Regel) erhalten wir:
$$ \frac{d}{dt} F(t) = \frac{d}{dt} \left(\int_0^1 f(x,t)dx\right). $$
Da \(f\) stetig differenzierbar ist, können wir den Ableitungsoperator \(\frac{d}{dt}\) mit dem Integraloperator vertauschen:
$$ \frac{d}{dt} F(t) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} f(x,t)dx. $$
Nun betrachten wir den Ausdruck \(\int_a^b f_t(x,t)dx\), wobei \(f_t(x,t)\) die partielle Ableitung von \(f\) nach \(t\) bei festem \(x\) ist.
Es bleibt zu zeigen, dass \(\int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} f(x,t)dx = \int_a^b f_t(x,t)dx\).
Durch Anwendung des Satzes über die Ableitung unter dem Integralzeichen können wir den Ausdruck \(\int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} f(x,t)dx\) als \(G(t)\) schreiben:
$$ G(t) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} f(x,t)dx. $$
Da \(\frac{\partial}{\partial t} f(x,t)\) stetig ist, ist \(G(t)\) differenzierbar. Wir möchten zeigen, dass \(G(t)\) eine Stammfunktion von \(f_t\) ist.
Betrachten wir die Ableitung von \(G(t)\):
$$ \frac{d}{dt} G(t) = \frac{d}{dt} \left(\int_0^1 \frac{\partial}{\partial t} f(x,t)dx\right). $$
Durch Anwendung des Satzes über die Ableitung unter dem Integralzeichen erhalten wir:
$$ \frac{d}{dt} G(t) = \int_0^1 \frac{\partial^2}{\partial t^2} f(x,t)dx. $$
Da \(f\) stetig differenzierbar ist, können wir erneut den Satz über die Ableitung unter dem Integralzeichen anwenden:
$$ \frac{d}{dt} G(t) = \int_0^1 f_{tt}(x,t)dx. $$
Somit haben wir gezeigt, dass \(\frac{d}{dt} \int_0^1 f(x,t)dx = \int_a^b f_t(x,t)dx\) für alle \(t \in (c,d)\), wie gewünscht.
Wenn ja, macht das Sinn, wenn nein andere Vorgehensweisen?
