Hallo ich soll diese Aufagbe mit vollständiger Induktion lösen und komme zu keinem Ergebnis, kann mir die jemand lösen
Vielen Dank schonmal
Text erkannt:
\( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\ldots+\frac{1}{2^{(n-1)}}=2\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) \)
Ohne Induktion:
Es ist eine geometrische Reihe
mit a0 = 1= (1/2)^0, q= 1/2
von n= 0 bis n-1
1/(2^(n-1)) = 2/2^n
Ginge sie von 0 bis n wäre der Summenwert 1/(1-1/2)= 2
Dieser Summenwert verringert sich um 1/2^n.
-> Summenwert: 2-1/2^n = 2/(1-1/(2^(n-1))
Schaffst du den Induktionsanfang alleine ? Also das die Gleichung für n = 1 gilt ?
Für den Induktionsschritt musst du die Gültigkeit folgender Gleichung zeigen:
1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2^(n - 1) + 1/2^n = 2·(1 - 1/2^(n + 1)) 2·(1 - 1/2^n) + 1/2^n = 2·(1 - 1/2^(n + 1))
Probier das mal und sag dann konkret, wobei du genau Probleme hast.
Also genau soweit bin ich 2·(1 - 1/2n) + 1/2^n , nur das ich nicht auf das Ergbenis komme. Beim Fehler liegt da bei der Bruchrechnung, wär es möglich das mal auszurechnen ? Ich verzweifel da voll dran
2·(1 - 1/2^n) + 1/2^n = 2·(1 - 1/2^(n + 1))
2 - 2/2^n + 1/2^n = 2 - 2/2^(n + 1)
2 - 1/2^n = 2 - 1/2^n
offensichtlich wahr
Es gelte \(1+1/2+\cdots +1/(2^{n-1})=2(1-1/2^n)\quad A(n)\).
Induktionsschritt: zu zeigen \(A(n)\Rightarrow A(n+1)\):
\(1+1/2+\cdots 1/2^{n-1}+1/2^n=2(1-1/2^n)+1/2^n\) wegen \(A(n)\).
Das ergibt
\(2(1-1/2^n)+2/2^{n+1}=2(1-1/2^n+1/2^{n+1})=2(1-1/2^{n+1})\quad A(n+1)\)
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