Ist diese Aussage wahr oder falsch? Satz von Stokes

Question

Aufgabe:

Ist diese Aussage wahr oder falsch? " Der Fluss der Rotation eines zweimal stetig differenzierbaren Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Ellipsoids ist 0. "

Problem/Ansatz:

Bin hier wirklich mir den Kopf am zerbrechen. Ich denke mal man kann das mit dem Satz von Stokes begründen, den ich selbst irgendwie noch nicht so ganz verstanden habe. Der Satz besagt doch dass man den Fluss der Rotation durch eine Fläche auch mit einer positiv parametrisierten Kurve berechnen kann, die den Rand der Oberfläche beschreibt. Da ein Ellipsoid ja aber geschlossen ist, kann da doch 1. garnix rausfließen und 2. besitzt der Ellipsoid ja keinen "Rand" den ich irgendwie als Kurve parametrisieren könnte. Deswegen war mein erster Instinkt zu sagen, dass das richtig ist, vielleicht habe ich aber auch ein komplett falsches Verständnis von diesem Satz. Vielen Dank im Voraus für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes \(\vec v(\vec r)\) ist stets \(0\):$$\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=0$$Für den Fluss \(\phi\) der Rotation des Vektorfeldes \(\vec v(\vec r)\) durch die geschlossene Fläche des Ellipsoids \(E\) gilt dann mit dem Satz von Gauß \((dV\vec\nabla=d\vec f)\)$$\phi=\oiint\limits_{\partial E}d\vec f\,\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=\iiint\limits_EdV\vec\nabla\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=\iiint\limits_EdV\operatorname{div}\operatorname{rot}\vec v(\vec r)=0$$

Comments

Klar, die Identität kenn ich auch. Hätte mir auffallen müssen. Danke für die Erinnerung!