Gleichmässige Konvergenz mithilfe Epsilon nachweisen

Question

Hallo,

kann mir bitte jemand erklären, warum die Ungleichung n>= b^2/Epsilon gilt ?  Bei der Aufgabe ging es darum, die gleichmässige Konvergenz nachzuweisen.

Danke

Text erkannt:

Lösung.
a) Sei \( f:[-b, b] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=x \), und \( \varepsilon>0 \). Für alle \( -b \leq x \leq b \) gilt
\( \left|f_{n}(x)-f(x)\right|=\left|\frac{x^{2}+n x}{n}-x\right|=\left|\frac{x^{2}}{n}\right|=\frac{x^{2}}{n} . \)
Sei also \( n \in \mathbb{N} \) so dass \( n \geq \frac{b^{2}}{\varepsilon} \). Es gilt dann
\( \left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leq \frac{\varepsilon x^{2}}{b^{2}} \leq \varepsilon . \)

Answer 1

Die Ungleichung gilt nicht einfach so. Beachte die Logik: "Für alle \(\varepsilon\) gibt es ein \(n_0\) so, dass...".

\(\varepsilon\) ist also allgemein vorgegeben. Es muss nun \(n_0\) gefunden werden.

Man definiert(!!!) also \(n_0\) so, dass \(n_0\ge \frac{b²}\varepsilon\). Und damit - weil man das so will - und das geht - gilt die Ungleichung, also per Definition von \(n_0\), für \(n_0\), und damit auch für alle \(n\ge n_0\).

Comments

Aber warum kann man n0 so definieren, so dass n0>= b^2/Epsilon gilt ?

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Weil die Menge der natürlichen Zahlen nach oben unbeschränkt ist. \(\frac{b²}\varepsilon\) ist irgendeine Zahl, und daher gibt es eine natürliche Zahl, die größer ist.

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Danke, jetzt habe ich es verstanden.

Könntest du mir bitte die Ungleichung in der letzten Zeile erklären ?

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Wenn \(n\ge\frac{b^2}\varepsilon\) ist, ist \(|f_n(x)-f(x)| = \frac{x²}n \le \frac{b²}n\le \varepsilon\).

Übe das Umformen von Ungleichungen erstmal an einfachen Beispielen, sonst bist Du solchen Beweisen verloren.

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Deine Antwort hat mir sehr geholfen, vielen Dank