Für punktweise Konvergenz musst du einfach den Grenzwert berechnen, also
\(\begin{aligned} f(x) = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n x(1-x)^{n}=0, \quad x \in[0,1] .\end{aligned} \)
Für die gleichmässige Konvergenz berechnen wir
\(\begin{aligned} \sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)- f(x)\right|=\sup _{x \in[0,1]} n x(1-x)^{n} .\end{aligned} \)
Hierfür können wir klassicherweise einfach die Ableitung finden um die Funktion auf Extremstellen zu untersuchen.
\(\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} n x(1-x)^{n}=n(1-x)^{n}-n^{2} x(1-x)^{n-1} \stackrel{!}{=} 0\end{aligned} \)
Natürlich ist \( x=1 \) ein Minimum, also wollen wir dieses Ausschliessen. Es ergibt sich
\( \begin{aligned} n(1-x)^{n}-n^{2} x(1-x)^{n-1} \stackrel{!}{=} 0 & \Longleftrightarrow n(1-x)-n^{2} x=0 \\ & \Longleftrightarrow n-n x-n^{2} x=0 \\ & \Longleftrightarrow x\left(n^{2}+n\right)=n \\ & \Longleftrightarrow x=\frac{1}{n+1} \end{aligned} \)
Es ist leicht zu überprüfen, dass es sich hierbei um ein lokales Maximum handelt. Wir haben also
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup _{x \in[0,1]}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1-1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} \\ &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}=\frac{1}{e} \neq 0 \end{aligned} \)
wobei der Grenzwert in der letzten Zeile die wohlbekannte Definition der Eulerschen Zahl bis auf ein Minus gleicht. Das zeigt nun, dass die Funktionenfolge nicht gleichmässig konvergiert.
