Wie beweist man, dass sich etwas um einen Untervektorraum handelt (Abbildungen)?

Question

Folgender Untervektorraum ist gegeben:

U := {f ∈ Abb(ℝ, ℝ) | f(-1) - f(0) = 0} ⊆ Abb(ℝ, ℝ).

Handelt es sich wirklich um einen Untervektorraum von Abb(ℝ, ℝ)?

Ja, es ist ein Untervektorraum. Ich habe das auch ausgetestest mit ein paar Funktionen und geschaut, ob diese unter der Vektoraddition & skalaren Multiplikation abgeschlossen und ob die Nullabbildung in der Menge enthalten ist.

Jedoch würde ich noch gerne herausfinden, wie man das endgültig beweist. Bei anderen Mengen schaffe ich das mit den Beweisen, zum Beispiel bei den Untervektorraum, welcher aus dem Schnitt von zwei anderen Untervektorräumen besteht. Aber bei einer Menge von Abbildungen empfinde ich das als schwierig.

Ich habe so angefangen:

1) Nullabbildung enthalten: f(x) = 0, dann gilt f(-1) - f(0) = 0 - 0 = 0

2) Abgeschlossenheit über Vektoraddition: Wähle f aus U und g aus U, sodass f(-1) - f(0) = 0 und g(-1) -g(0) = 0, dann gilt:

f + g = f(-1) + ((-1)*f(0)) + g(-1) + ((-1)*g(0)) = 0

Aber hier beginnt mein Problem. Wie kann ich nun die zwei Funktionen f und g zusammenfassen, sodass ich wieder ein Muster nach der Sorte f(-1) - g(0) = 0 erhalte? Ist das überhaupt der richtige Ansatz?

Answer 1

Aloha :)

Die gegebene Menge$$U\coloneqq\{f\in\operatorname{Abb}(\mathbb R;\mathbb R)\,\big|\,f(-1)-f(0)=0\}$$enthält alle reellen Funktion mit \(f(-1)=f(0)\). Um zu entscheiden, ob es sich bei \(U\) um einen Untervektorraum \(\operatorname{Abb}(\mathbb R;\mathbb R)\) handelt, prüfen wir die 3 Kriterien ab:

1) Die Null-Funktion muss enthalen sein.

Die Funktion \(f(x)=0\) erfüllt die Bedingung \(f(-1)=f(0)\quad\checkmark\)

2) Abgeschlossenheit bezüglich der Addition.

Seien \(f,g\in U\) dann gilt:$$(f+g)(-1)=f(-1)+g(-1)=f(0)+g(0)=(f+g)(0)\quad\checkmark$$

3) Abgeschlossenheit bezüglich der Skalar-Multiplikation.

Für \(a\in\mathbb R\) und \(f\in U\) gilt:$$(a\cdot f)(-1)=a\cdot f(-1)=a\cdot f(0)=(a\cdot f)(0)\quad\checkmark$$

Die Menge \(U\) ist also ein Untervektorraum von \(\operatorname{Abb}(\mathbb R;\mathbb R)\).