Extremwertprovbleme mit Nebenbedingungen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

LS-S. 29 Aufgabe 10
Ein nach oben offener Karton mit quadratischer Grundfläche soll bei einer vorgegebenen Oberfläche von \( 100 \mathrm{~cm}^{2} \) ein möglichst großes Volumen besitzen.
Bestimmen Sie die Maße dieses Kartons.
lcl dache: \( U=a \cdot b \cdot c \rightarrow \) bei inem Quadef
Lösung
wieso \( a^{2} \) ? Es gibb doel 4 - \( \mu \) al die
Extremalbedingung: \( V=a^{2} \cdot h \) soll maximal sein.
Nebenbedingung:
\( O=a^{2}+4 a h=100 \Leftrightarrow 4 a h=100-a^{2} \Leftrightarrow h=\frac{100-a^{2}}{4 a} \)
wie?
Zielfunktion:
\( V(a)=a^{2} \cdot \frac{100-a^{2}}{4 a}=a \cdot \frac{100-a^{2}}{4}=-\frac{1}{4} a^{3}+25 a \)
Definitionsbereich: \( 0 \leq \mathrm{a} \leq 10 \quad\left(\mathrm{~h}=\frac{100-\mathrm{a}^{2}}{4 \mathrm{a}}=0 \rightarrow 100-\mathrm{a}^{2}=0 \rightarrow \mathrm{a}=\sqrt{100}=10\right) \)
Gesucht ist das absolute Maximum der Zielfunktion. 4 a gemach 6 , um die
Ableitungen: \( \quad V^{\prime}(a)=-\frac{3}{4} a^{2}+25, \quad V^{\prime \prime}(a)=-\frac{3}{2} a \) ungubehommen
Lokale Maxima:
\( V^{\prime}(a)=0 \Leftrightarrow-\frac{3}{4} a^{2}+25=0 \Leftrightarrow \frac{3}{4} a^{2}=25 \Leftrightarrow a^{2}=\frac{100}{3} \Leftrightarrow a=-\sqrt{\frac{100}{3}} \vee a=\sqrt{\frac{100}{3}} \)
Da \( -\sqrt{\frac{100}{3}} \) nicht im Definitionsbereich liegt, kann nur \( \sqrt{\frac{100}{3}} \approx 5,7735 \) Hochstelle sein.
\( V^{\prime}\left(\sqrt{\frac{100}{3}}\right)=0 \wedge V^{\prime \prime}\left(\sqrt{\frac{100}{3}}\right)=-\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{100}{3}}\right)<0 \Rightarrow \sqrt{\frac{100}{3}} \) ist Hochstelle.

Problem/Ansatz:

Answer 1

V= a^2*h, weil die Grundfläche ein Quadrat ist.

Die Gleichung wurde mit 4a multipliziert: 0*4a = 0

Comments

Danke. Aber wieso wurde sie mit 4a multipliziert? Und wieso rechnet man da den Umfang der geöffneten Quadratischen Fläche mal 4ah ? Woher kommt das Ganze?

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Ein Bruch (und der Term \( \frac{100-a^2}{4a} \) ist ein Bruchterm) ist nur dann Null, wenn sein Zähler 0 ist. Wenn also \( \frac{100-a^2}{4a} =0\) gelten soll, muss 100-a²=0 gelten.

Answer 2

\(V(a,h)=a^2*h\)   soll maximal werden.   \(a^2\) , weil die Grundfläche ein Quadrat ist.

\( a^2+4ah=100\)

\( h=\frac{100-a^2}{4a}\)

\(V(a)=a^2*\frac{100-a^2}{4a}=a*\frac{100-a^2}{4}=\frac{1}{4}*(100a-a^3)\)

\(V´(a)=25-\frac{3}{4}a^2\)

\(25-\frac{3}{4}a^2=0\)

\(a^2=\frac{100}{3}\)

\(a=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10}{3}\sqrt{3}\)