Formel für die Nullstellen des j-ten Hermiteschen Orthogonalpolynoms

Question

gibt es eine Formel zur Bestimmung der Nullstellen des j-ten Hermiteschen Orthogonalpolynoms H_j(t)?

für die Tschebycheffpolynome gibt es ja diese Formel und ich habe mich gefragt ob so etwas auch für die hermiteschen Polynome existiert und wie diese ggf. aussehen würde?

Answer 1

Nein, gibt es nicht.

Tschebycheffpolynome werden ja in der Polynominterpolation verwendet, um optimale Stützstellen herzuleiten. Die sind gerade so konstruiert, dass man die Stützstellen angeben kann.

Im Allgemeinen kann man von orthogonalen Polynomen nicht erwarten, dass es eine solche geschlossene Form gibt. Nach Abel-Ruffini lassen sich ja Polynome mit Grad größer gleich 5 nicht durch Radikale darstellen.

Hier ist aber eine nützliche Tabelle: https://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/jres/048/jresv48n2p111_A1b.pdf

Die werden dann mit numerischen Verfahren hergeleitet.