Wahrscheinlichkeit, dass der k-te Schlüssel passt

Question

Aufgabe:

Ein Mann hat n Schlüssel zum Öffnen einer Tür. Nur einer davon passt. Für eine Zahl k≤n bestimme man die Wahrscheinlichkeit, dass genau der k-te Schlüssel passt.

Fall 1: Nach jedem erfolglosen Versuch legt er den Schlüssel nicht beiseite und probiert weiter.

Hier hätte ich die Geometrische Verteilung verwendet mit: G_p(genau der k-te öffnet) = p*(1-p)^(n-k) = (1/n)*(1-1/n)^(n-k)

Ist das richtig?

Fall 2: Die falschen Schlüssel werden nicht weiterverwendet also 'ohne zurücklegen`.

Hier hätte ich die Hypergeometrische Verteilung verwendet oder?

mit den Buchstaben:   das N = n; das m=k; das M=??; das n=n-k (?) 

oder wie würde man dieses Beispiel umformen für die Formel der hypergeometrischen Verteilung?

Problem/Ansatz:

Wie geht dieses WK Beispiel mit n Schlüssel um die Tür zu öffnen? Bitte um Hilfe.

Answer 1

Ein Mann hat n Schlüssel zum Öffnen einer Tür. Nur einer davon passt. Für eine Zahl k<=n bestimme man die Wahrscheinlichkeit, dass genau der k-te Schlüssel passt.

Fall 1: nach jedem erfolglosen Versuch legt er den Schlüssel zurück und probiert weiter

Es müssen ja alle anderen k-1 Schlüssel die ich vorher probiert habe nicht gepasst haben. Also

(1 - 1/n)^(k - 1) * 1/n

Unter der Voraussetzung das die anderen Schlüssel vorher nicht gepasst haben passt der k. Schlüssel mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/n

Fall 2: die falschen Schlüssel werden nicht weiterverwendet also ohne zurücklegen

Hier ist das recht einfach. Der k. Schlüssel passt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/n. Und wenn der k. Schlüssel passt, dann haben alle anderen vorher nicht gepasst. Also

1/n

Comments

Vielen lieben Dank :)

Answer 2

Fall 2: die falschen Schlüssel werden nicht weiterverwendet also ohne zurücklegen

im 1. Versuch:

P= 1/n

im 2. Versuch:

(n-1)/n* 1/(n-1) = 1/n

im 3. Versuch:

(n-1)/n* (n-2)/(n-1) *1/(n-2) = 1/n

usw.