Aufgabe:
Es sei \( \mathcal{H} \subset \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^{N}\right) \) ein Halbring, \( \tilde{\mu}: \mathcal{H} \rightarrow[0, \infty] \) ein Inhalt und \( \mu \) das zugehörige äußere Maß. Zeigen Sie:
a) Zu jedem \( A \subset \mathbb{R}^{N} \) gibt es ein \( C \in \sigma(\mathcal{H}) \) mit \( A \subset C \) und \( \tilde{\mu}(A)=\tilde{\mu}(C) \).
b) Für alle \( A, B \subset \mathbb{R}^{N} \) ist \( \mu(A \cup B)+\mu(A \cap B) \leq \mu(A)+\mu(B) \). Es gilt Gleichheit, falls \( A \in \mathcal{A}_{\mu} \) oder \( B \in \mathcal{A}_{\mu} \).
c) Seien \( M, N \subset \mathbb{R}^{N} \) und es gebe \( A, B \in \mathcal{A}_{\mu} \) mit \( M \subset A, N \subset B \) und \( \mu(A \cap B)=0 \). Dann ist \( \mu(M \cup N)=\mu(M)+\mu(N) \).
Problem/Ansatz:
Wie könnte man Teilaufgabe a) anschaulich zeigen?
Zu b) und c) hätte ich mir bereits folgendes überlegt - bleibt die frage, ob das so stimmt ☺!?
b)
\( \begin{array}{l}\text { Sei } C=A-B \text { und } D=B-A, C \cup B=A \cup D= \\ A \cup B, C \subset A \text { und } D \subset B \\ \begin{aligned} \mu(A \cup B)+\mu(A \cap B) & =\mu(C \cup B)+\mu(A \cap B) \\ & =\mu(C)+\mu(B)+\mu(A \cap B) \\ & =\mu(B)+\mu(C \cup(A \cap B)) \\ & =\mu(B)+\mu((C \cup A) n(C \cup B)) \\ & =\mu(B)+\mu(A n(A \cup D)) \\ & =\mu(B)+\mu(A)=\operatorname{da} A \subset A \cup D \\ & =\mu(A)+\mu(B)\end{aligned}\end{array} \)
c)
\( \begin{aligned} \mu(M \cup N) & =\mu((A \cup B) \cap \bar{A}))+\mu((A \cup B \backslash \bar{A})) \\ & =\mu((A \cap \bar{A})) \cup(B \cap \bar{A}))+ \\ & \mu((A \backslash \bar{A})) \cup(B \backslash \bar{A})) \\ & =\mu(A \cup \varnothing)+\mu(\varnothing \cup B) \\ & =\mu(A)+\mu(B)\end{aligned} \)
