Newtonsche Interpolationsformel / Dividierte Differenzen

Question

1. Man zeige, dass das Lagrange-Interpolationspolynom der Funktion f an den verschiedenen Punkten (x_i)_{1 ≤ i ≤ n} gegeben ist durch P_n(x) = $\sum \limits_{i=0}^{n}{f[x_0, . . . , x_i]}\prod \limits_{k=0}^{i-1}{(x − x_k)}$ wobei f[·] die dividierten Differenzen von f sind, definiert durch

f[x_i] = f(x_i),
f[x₀, . . . , x_k] = $\frac{1}{x_k − x_0}$ (f[x₁, . . . , x_i] − f[x₀, . . . , x_i−1]), für alle i = 0, . . . , n.

Man zeige dann, dass f[x₀, . . . , x_n] invariant gegenüber Permutationen ist.

Problem:

Hat jemand eine Ahnung wie das geht? Hab das Modul erst seit paar Wochen, habe deshalb leider keine Ahnung....

Comments

Soweit ich das präsent habe, handelt es sich um einen Standard-Beweis aus der Numerik, den Du in vielen einschlägigen Büchern findest. Es macht keinen Sinn, dass ich jetzt einen solchen Beweis hier abschreibe und Du schreibst ihn wieder von hier ab.

Vielleicht kennt aber noch jemand einen pfiffigen kurzen Beweis.

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Danke dir, ich schau mal heute Abend nach.