dass die leere Menge enthalten ist
\(\emptyset \in\{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\) weil ...
das Komplement
Sei \(M \in \{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\).
Fall 1. \(M\) ist endlich.
Dann ist \(M^\complement \in \{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\) weil ...
Fall 2. \(\mathbb{R}\setminus M\) ist endlich.
Dann ist \(M^\complement \in \{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\) weil ...
die Vereinigung einer Folge von Mengen
Sei \(\left(M_n\right)_{n\in\mathbb{N}}\) eine Folge von Elementen von \(\{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\).
Dann ist \(\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N}}M_n \in \{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\) weil ...
Tipp. Der letzte Teil ist gelogen. Die Herangehensweise würde nur dann zum Erfolg führen, wenn \(\{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\) eine \(\sigma\)-Algebra wäre. Aber \(\{A \subset \mathbb{R} \mid A \text{ ist endlich oder } \mathbb{R} \setminus A \text{ ist endlich}\}\) ist keine \(\sigma\)-Algebra. Finde eine geeignete Folge, die das belegt.
