Sigma Algebren bestimmen

Question

Sei \( X \) eine Menge, \( \mathcal{F}_{1}=\{\{x\}: x \in X\}, \mathcal{F}_{2}=\{\{x, y\}: x, y \in X\} \). Bestimmen Sie die \( \sigma \) -Algebren \( \sigma\left(\mathcal{F}_{1}\right) \) und \( \sigma\left(\mathcal{F}_{2}\right) \), die von \( \mathcal{F}_{1} \) beziehungsweise von \( \mathcal{F}_{2} \) erzeugt werden.

Answer 1

Vielleicht hilft das:

in F1 sind doch genau die einelementigen Teilmengen von X.

Wenn A die von F1 erzeugte σ - Algebra ist, dann gilt:

Da abzählbare Vereinigungen von Elementen von A wieder in A liegen müssen,


dass jedenfalls alle abzählbaren Teilmengen von F1 in A  liegen.


Außerdem muss von jedem M ∈ A auch das Komplement M^C in A liegen.


Dann denke ich, dass es so ist:


A = { M ⊆ X | ( M ist endlich oder  abzählbar ) oder ) M^C ist endlich oder  abzählbar )}

und bei den zweielementigen ist es genauso, denn dabei müssen die 1-elementigen auch


alle drin sein, denn wenn etwa M={a;b} und N={a;c} dann ist M^C ∪ N^C =  X \ {a} und dessen


Komplement ist {a}.

Comments

Angenommen X=Reelle Zahlen. Dann kann man die Menge doch einfach mit der leeren Menge und R erweitern oder?