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Sei \( X \) eine Menge, \( \mathcal{F}_{1}=\{\{x\}: x \in X\}, \mathcal{F}_{2}=\{\{x, y\}: x, y \in X\} \). Bestimmen Sie die \( \sigma \) -Algebren \( \sigma\left(\mathcal{F}_{1}\right) \) und \( \sigma\left(\mathcal{F}_{2}\right) \), die von \( \mathcal{F}_{1} \) beziehungsweise von \( \mathcal{F}_{2} \) erzeugt werden.

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Vielleicht hilft das:

in F1 sind doch genau die einelementigen Teilmengen von X.

Wenn A die von F1 erzeugte σ - Algebra ist, dann gilt:


Da abzählbare Vereinigungen von Elementen von A wieder in A liegen müssen,


dass jedenfalls alle abzählbaren Teilmengen von F1 in A  liegen.


Außerdem muss von jedem M ∈ A auch das Komplement MC in A liegen.


Dann denke ich, dass es so ist:


A = { M ⊆ X | ( M ist endlich oder  abzählbar ) oder ) MC ist endlich oder  abzählbar )}

und bei den zweielementigen ist es genauso, denn dabei müssen die 1-elementigen auch


alle drin sein, denn wenn etwa M={a;b} und N={a;c} dann ist MC ∪ NC =  X \ {a} und dessen


Komplement ist {a}.

von 229 k 🚀

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