Sei ∶ I → ℝ konvex auf dem Intervall I. Zeigen Sie... (Teil 2)

Question

Sei f ∶ I → ℝ konvex auf dem Intervall I. Zeigen Sie:

Ist f ∈ C²(I) und x₀ ∈ I beliebig, so gilt f(x) ≥ (x₀) + (x − x₀) f′(x₀), x ∈ I, d.h. der Graph von f liegt oberhalb jeder Tangente an f.

Hi, mag mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Habe etwas viel zu tun, das würde mich noch retten.

Answer 1

Die Funktion ist laut Voraussetzung in $C^2(I)$.

Möglicherweise darfst du dann folgendes Kriterium als bekannt voraussetzen:

$f$ ist konvex auf $I$ genau dann, wenn $f''\geq 0$ auf $I$.

Falls das so ist, kannst du mit Taylor ruckzuck argumentieren:

$$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+ \underbrace{\frac 12 f''(\xi)(x-x_0)^2}_{\geq 0}\geq f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$$

Fertig.

Comments

Danke dir, für die Hilfe ❤️

Answer 2

Wir zeigen für $x<y$: $f'(x) \leq f'(y)$. Dazu sei $h=s(y-x)$ mit $s \in (0,1)$ beliebig. Dann ist

$$f(x+h)+f(y-h)=f((1-s)x+sy)+f(sx+(1-s)y) \\\quad \leq (1-s)f(x)+sf(y)+sf(x)+(1-s)f(y)=f(x)+f(x)$$

Daraus folgt

$$\frac{1}{h}(f(x+h)-f(x))\leq \frac{1}{h}(f(y)-f(y-h))$$

Durch Grenzübergang folgt die Behauptung $f'(x) \leq f'(y)$.

Damit für $x>x_0$:

$$f(x)-f(x_0)=\int_{x_0}^x f'(t) \;dt \geq \int_{x_0}^x f'(x_0) \;dt=f'(x_0)(x-x_0)$$

Comments

danke, sehr lieb ❤️