Zeigen Sie: Jede beschränkte, monotone Funktion f ∶ I → ℝ ist integrierbar.

Question

Sei I = [a, b] kompakt. Zeigen Sie: Jede beschränkte, monotone Funktion f ∶ I → ℝ ist integrierbar.

Hätte da jemand einen kurzen Lösungsweg zu?

Answer 1

Ich nehme an, es geht um Riemann-Integrierbarkeit.

Wir benutzen das Lebesgue-Kriterium.

Es gilt:
(1) Monotone Funktionen auf I haben höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen. (Siehe hier.)

(2) Abzählbare Mengen reeller Zahlen sind Lebesgue-Nullmengen. (Das ist trivial.)

Somit folgt mit dem Lebesgue-Kriterium, dass f Riemann-Integrierbar ist.