Kommutator Berechnung: Berechnen Sie: [x,p_{x²}]

Question

Berechnen Sie: [x,p_x²]

Mein Ergebnis:

h_quer² d/dx

Lösung:

2 h_quer² d/dx

Woher kommt die 2 (rot) im richtigen Ergebnis?

\( \begin{aligned}\left[\hat{x}, \hat{p}_{x}^{2}\right] \psi(x) &=x\left(-i \hbar \frac{d}{d x}\right)^{2} \psi(x)-\left(-i \hbar \frac{d}{d x}\right)^{2} \times \psi(x) \\ &=-\hbar^{2}\left[x \frac{d^{2}}{d x^{2}}(x)-\frac{d^{2}}{d x^{2}}(x \psi(x)]=\right.\\ &=-h^{2}\left[x \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}-\frac{d}{d x}\left(\psi(x)+x \frac{d \psi}{d x}\right)\right] \\ & \left.=-\hbar^{2}\left[x \frac{d^{2} \psi}{d x}-\left( \textcolor{#F00}{2} \frac{d \psi}{d x}\right)+x \frac{d^{2} \psi}{d x^{2}}\right)\right] \\ &=2 h^{2} \frac{d}{d x} \psi(x) \end{aligned} \)

Answer 1

ich beantworte das mal für Fortgeschrittene (ohne Hilfsfunktion \( \Psi \)):

\( [\hat x, \hat p_x^2] = x \left(-i\hbar \frac{d}{dx}\right)^2 - \left(- i \hbar \frac{d}{dx} \right)^2 x \)

\( = - x \hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} + \hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} x\)

\( = - x \hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} + \hbar^2 \frac{d}{dx} \left( 1 + x \frac{d}{dx} \right) \)

\( = - x \hbar^2 \frac{d^2}{dx^2} + \hbar^2 \frac{d}{dx} + \hbar^2 \left(\frac{d}{dx} + x \frac{d^2}{dx^2}\right) \)

\( = 2 \hbar^2 \frac{d}{dx} \).

Wenn dir das zu unlesbar erscheint, kannst du es selbst nochmal mit einer Hilfsfunktion \( \Psi \) durchführen.

MfG

Mister