Ist A \ B = A ∩ ¬B wenn das Universum U als A U B definiert ist?

Question

Aufgabe:

Ist A \ B = A ∩ ¬B wenn das Universum U als A U B definiert ist?

Problem/Ansatz:

Ich habe dies Umformung in einem Beweis benutzt aber bin mir nicht zu 100% sicher, ob diese richtig.

Danke für jede Hilfe

Answer 1

A \ B = A ∩ ¬B

Für jedes \(x\) gilt

        \(\begin{aligned} & x\in A\setminus B\\ \iff\, & x\in A\wedge x\notin B\\ \iff\, & x\in A\wedge x\in B^{\complement}\\ \iff\, & x\in A\cap B^{\complement} \end{aligned}\)

Somit ist \(A\setminus B=A\cap B^\complement\). Und zwar auch dann, wenn das Universum nicht \(A\cup B\) ist.

Übrigens wird das Zeichen \(\neg\) in der Logik verwendet, nicht in der Mengenlehre. Das Komplement von \(B\) wird üblicherweise mit \(\overline B\) oder \(B^\complement\) bezeichnet.