Zeigen Sie, dass für s ∈ R folgende Aussagen äquivalent sind:

Question

Aufgabe:

Sei A ⊂ R nach unten beschränkt mit A ̸= ∅. Zeigen Sie, dass für s ∈ R folgende Aussagen äquivalent sind:

(i) s=infA.

(ii) s ist eine untere Schranke von A, und für jedes ε > 0 existiert ein x ∈ A
mit x < s + ε.

(iii) s ist eine untere Schranke von A, und für jedes ε > 0 existiert ein x ∈ A
mit x ≤ s + ε.

Answer 1

(i) (i)==>(ii) :  s=infA.

==>  s ist die größte untere Schranke von A

  Sei ε>0 , dann ist s+ε>s und kann deshalb keine

untere Schranke für A sein,

also gibt es ein x∈A  mit x < s + ε. (ii).

(ii)==>(iii):  Wenn < gilt, dann auch ≤.

Nun noch (iii) ==> (i) zeigen.