Entscheiden Sie, ob die folgenden Doppelsummen definiert sind und berechnen Sie bei positivem Ergebnis ihren Wert.
a) \( \sum \limits_{k, \ell=2}^{\infty} k^{-\ell} \);
b) \( \sum \limits_{k, \ell=1}^{\infty} \frac{k-\ell}{k^{2}+\ell^{2}} \);
Hinweis: Ist die Summe definiert, so besagt der große Umordnungssatz, dass der Wert durch zeilenweise Summation \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{\ell=1}^{\infty} a_{k, \ell}\right) \), spaltenweise Summation \( \sum \limits_{\ell=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k, \ell}\right) \), diagonalweise Summation \( \sum \limits_{m=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{j=1}^{m} a_{j, m+1-j}\right) \) oder sonstige Zusammenfassungen berechnet werden darf.
Teilaufgabe a) hatte ich schon mal folgendermaßen behandelt:
Als erstes habe ich die Absolute Konvergenz der Reihe betrachtet:
\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \sum \limits_{\ell=2}^{\infty}\left|k^{-\ell}\right|=\sum \limits_{k=2}^{\infty} \sum \limits_{\ell=2}^{\infty} \frac{1}{k^{\ell}} \)
Diese Reihe lässt sich durch Umordnung und Anwendung der geometrischen Reihe analysieren:
\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{\ell}}=\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \cdot \frac{1}{k^{\ell-2}} \)
Die Reihe \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} \) konvergiert ( mit \( p=2>1 \) ), und die Reihe \( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{\ell-2}} \)
konvergiert für \( \ell>2 \). Also konvergiert die Doppelsumme absolut.
Nun kann man doch den Wert berechnen, indem man die Zeilenweise Summation anwendet:
\( \sum \limits_{k=2}^{\infty}\left(\sum \limits_{\ell=2}^{\infty} k^{-\ell}\right)=\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1 / k^{2}}{1-1 / k}=\sum \limits_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k(k-1)} \)
Diese Reihe ist eine Teleskopreihe und konvergiert gegen 1.
Ist das so richtg?
→ hier hätte ich zuerst einmal die Absolutkonvergenz betrachtet:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \sum \limits_{\ell=1}^{\infty}\left|\frac{k-\ell}{k^{2}+\ell^{2}}\right| \)
Dann hätte ich mir noch gedacht, dass man die Doppelsumme eventuell noch aufteilen könnte:
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \sum \limits_{\ell=1}^{\infty} \frac{|k-\ell|}{k^{2}+\ell^{2}}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(\sum \limits_{\ell=1}^{k-1} \frac{k-\ell}{k^{2}+\ell^{2}}+\sum \limits_{\ell=k}^{\infty} \frac{\ell-k}{k^{2}+\ell^{2}}\right) \)
Ab hier komme ich nicht mehr weiter - kann mir hier jemand behilflich sein?
