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3. Seien \( \left(a_{k}\right)_{k} \) eine Folge in \( \mathbb{C} \backslash\{0\} \) derart, dass der Grenzwert \( a:=\lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| \in[0, \infty) \) existiert. Zeigen Sie:
(i) Ist \( a>0 \) und \( z \in \mathbb{C} \) mit \( |z|<\frac{1}{a} \), so konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} z^{k} \) absolut.
(ii) Für jedes \( \varepsilon>0 \) gilt \( a-\varepsilon \leq \liminf _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \leq \limsup _{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|} \leq a+\varepsilon \).
(iii) \( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sqrt[k]{\left|a_{k}\right|}=a \).
Für eine Lösung + Erklärung wäre ich sehr dankbar!
