Was du schreibst ist schwer lesbar.
Bekannt sein sollte, dass aus 0<a<b stets folgt:
a<\( \frac{a+b}{2} \)<b
und
a<\( \sqrt{ab} \)<b.
Nach dem Satz über das arithmetische und geometrische Mittel gilt für 0<a<b stets
\( \sqrt{ab} \) < \( \frac{a+b}{2} \).
Die Zusammenfassung der drei Ungleichungen liefert die Reihenfolge
a<\( \sqrt{ab} \) < \( \frac{a+b}{2} \)<b, für die Startwerte also
a0<\( \sqrt{a_0b_0} \) < \( \frac{a_0+b_0}{2} \)<b0, also
a0< a1 < b1<b0 .
Wenn du jetzt zwischen a1 und b1 deren geometrisches und arithmetisches Mittel setzt, bekommst du
a0< a1 < a2 < b2< b1<b0 .
Das musst du sauber induktiv formulieren, womit das Wachsen von an und das Fallen von bn gezeigt wäre.
