Zeigen sie, dass die Geschwindigkeit des Steins ständig zunimmt.

Question

Aufgabe:

Ein Stein sinkt in einem See. Für seine Sinkgeschwindigkeit gilt v (t) = 2,5 × (1 - e ^-0,1t) (t in Sekunden nach Beobachtungsbeginn, v(t) in m/s.

a) Nach welcher Zeit sinkt der Stein mit Geschwindigkeit 2 m/s?

b) Zeigen sie, dass die Geschwindigkeit des Steins zuständig zunimmt.

c) Interpretieren Sie im sachzusammenhang die gleichung v(t+5) - v (t)=5

d) Stellen Sie eine Gleichung zur Lösung folgender Frage auf: Wann nimmt die Geschwindigkeit in der nächsten Sekunde um 0,13 m/s zu?

E) wann beträgt die Beschleunigung des Steins 2,6 cm/s²?

Problem/Ansatz:

… ich weiß nicht wie ich in allen Teilaufgaben vorgehen soll. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

a) $v(t)=2$ lösen.

b) $v(t)$ soll immer größer werden, ist also steigend. Das bedeutet, dass die Ableitung stets größer als 0 ist.

c) Hier geht es um einen 5 Sekunden-Zeitraum. Was bedeutet denn, wenn ich die Geschwindigkeiten zu unterschiedlichen Zeiten subtrahiere?

d) Änderungsrate der Geschwindigkeit lässt sich mit der Ableitung beschreiben.

e) Die Ableitung der Geschwindigkeit nennt man Beschleunigung. Gesucht ist also $v'(t)=0,026$.

Comments

Hallo,

bei d) geht es meiner Meinung nach um die Differenz, nicht um die Ableitung.

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So kann man das auch interpretieren. Dann geht das aber analog zu c).

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$$\text{d})\quad v(t_0+1)-v(t_0)=0,13$$$$\text{e)}\quad v'(t)=\pink{0,0}26$$

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Ups, ja. Einheit nicht beachtet.

Answer 2

Hallo,

a)

2 = 2,5 •(1 - e ^>{-0,1t})

b)

Zeige, dass die Ableitung positiv ist.

c)

Überlege mal selbst.

d)

So ähnlich wie die Gleichung in c).

e)

Beschleunigung bzw. Ableitung der Geschwindigkeit v(t) nach t

:-)

Answer 3

In d) ist noch nicht über die Ableitung zu rechnen

v(t + 1) - v(t) = 0.13 --> t = 6.043 s

Mit der Ableitung wird das also falsch.

v'(t) = 0.13 --> t = 6.539 s

Auch bei b) braucht man keine Ableitung, sondern kann über die Monotonie der e-Funktion gehen.

e^(-0,1t) ist streng monoton fallend
1 - e^(-0,1t) ist dann streng monoton steigend und
2,5 × (1 - e^(-0,1t)) ist ebenso streng monoton steigend

Nur in e) muss man dann endlich die lang ersehnte Ableitung auspacken und damit rechnen.

v'(t) = 0.026 --> t = 22.63 s

Answer 4

Aloha :)

Die Sinkgeschwindigkeit des Steins ist bekannt:$$v(t)=2,5\cdot\left(1-e^{-0,1t}\right)=\frac52\cdot\left(1-\frac{1}{e^{t/10}}\right)\quad;\quad[v]=\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$$

a) Nach welcher Zeit sinkt der Stein mit Geschwindigkeit 2 m/s?

$$\frac52\cdot\left(1-\frac{1}{e^{t/10}}\right)=2\quad\bigg|\cdot\frac25$$$$1-\frac{1}{e^{t/10}}=\frac45\quad\bigg|-1$$$$-\frac{1}{e^{t/10}}=-\frac15\quad\bigg|\text{Kehrwerte und negieren}$$$$e^{t/10}=5\quad\big|\ln(\cdots)$$$$\frac{t}{10}=\ln(5)\quad\big|\cdot10$$$$t=10\ln(5)\approx16,09$$Nach ca. $16,09\,\mathrm s$ hat der Stein die Geschwindigkeit $v=2\,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$ erreicht.

b) Zeigen sie, dass die Geschwindigkeit des Steins zuständig zunimmt.

$$t_2>t_1\implies\frac{t_2}{10}>\frac{t_1}{10}\implies e^{\frac{t_2}{10}}>e^{\frac{t_1}{10}}\implies \frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}<\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}\implies-\frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}>-\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}$$$$\phantom{t_2>t_1}\implies1-\frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}>1-\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}\implies\frac52\left(1-\frac{1}{e^{\frac{t_2}{10}}}\right)>\frac52\left(1-\frac{1}{e^{\frac{t_1}{10}}}\right)$$$$\phantom{t_2>t_1}\implies v(t_2)>v(t_1)$$

c) Interpretieren Sie im sachzusammenhang die gleichung v(t+5) - v (t)=5

In dem $5\,\mathrm s$-Intervall von $t$ bis $(t+5)$ wächst die Geschwndigkeit um $5,\frac{\mathrm m}{\mathrm s}$.

d) Stellen Sie eine Gleichung zur Lösung folgender Frage auf: Wann nimmt die Geschwindigkeit in der nächsten Sekunde um 0,13 m/s zu?

$$v(t_0+1)-v(t_0)=0,13$$

E) wann beträgt die Beschleunigung des Steins 2,6 cm/s²?

Beachte die EInheit der Beschleunigung, die müssen wir umrechnen in $\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}$!

$$v'(t)=0,026\quad\big|\text{Ableitung bilden}$$$$-2,5\cdot(-0,1)e^{-0,1t}=0,026\quad\big|\div0,25$$$$e^{-0,1t}=0,104\quad\big|\ln(\cdots)$$$$-0,1t=\ln(0,104)\quad\big|\div(-0,1)$$$$t=-\frac{\ln(0,104)}{0,1}\approx22,63$$Nach etwa $22,63\,\mathrm s$ ist die Beschleunigung $2,6\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm s^2}$ erreicht.