bestimmen Sie eine Diagonal-Matrix

Question

Aufgabe:

Sei A =

4	-1	1
-1	4	-1
1	-1	4

Diagonalisieren Sie die Matrix A, d. h. bestimmen Sie eine Matrix
P, so dass D = P⁻¹AP gilt, wobei D eine Diagonalmatrix ist. Geben Sie auch D an.

Problem/Ansatz:

ich hab paar Probleme mit dem Verständnis und ich glaube ich hab mich ab und zu verrechnet :(

ich verstehe nicht ganz was D, P, und P^-1 alles sein soll? und was davon ist der Eigenvektor?

P der Eigenvektor oder?

ich hab für den Eigenvektor det(A−λI)=0 benutzt, hab ehrlich gesagt andauernd Fehler gehabt in meinen Rechnungen ....

angeblich soll rauskommen:

1	-1	1
1	0	-1
0	1	1

λ= 3
λ= 6

dann berechnet man das Inverse

1/3	2/3	1/3
-1/3	1/3	2/3
1/3	-1/3	1/3

darauf kam ich erst nach dem ich den richtigen Eigenwert hatte
"D = P⁻¹AP"
dann setze ich das ein und multipliziere das
ehrlich gesagt hab ich hier auch andauernd rechnfehler, angeblich kommt hier

3	0	0
0	3	0
0	0	6

sein


daher hab ich 2 hauptfragen?
hab ich damit die aufgabenstellung erledigt euerer meinung nach? oder muss ich da noch was beweisen
und ist es zufall, dass die λ's das gleiche sind wie die diagonalmatrix, oder hab ich was falsch oder gibt es ein kausalen zusammenhang?

Answer 1

Schau mal in deinen Unterlagen nach, wie \(P\) und \(D\) definiert sind. Und gleich ist hier schon mal gar nichts, denn Vektor ≠ Matrix ≠ Wert. Bitte differenziere die Begriffe. Aber ja, in \(P\) stehen die Eigenvektoren und in \(D\) die zugehörigen Eigenwerte auf der Diagonalen.

Wenn du wissen willst, was DU falsch gemacht hast, musst du deine Rechnung mitliefern.

Beweisen musst du hier nichts, es ist eine reine Rechenaufgabe.