Zeigen Sie, dass f_{Z}(z)= \frac{1}{2} e^{-abs(z)}

Question

Guten Tag, liebe Community. Ich habe hier folgende Aufgabe

Aufgabe:

Es seien X,Y ∼ Exp(1) unabhängige, exponentialverteilte Zufallsvariablen. Wir setzen Z = X −Y. Zeigen Sie, dass f_Z(z)=\( \frac{1}{2} \) \( e^{-|z|} \), z∈ℝ eine Dichte der Zufallsvariable Z ist.

Problem/Ansatz:

Ok, also als erstes muss ich die Nicht-Negativität von f_Z(z) zeigen, also \( \frac{1}{2} \) \( e^{-|z|} \)≥0. Das ist trivital. Als nächstes muss ich zeigen, dass \( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f_Z(z)=\( \frac{1}{2} \) \( e^{-|z|} \). Das war auch einfach.

Aber bisher habe ich ja nur gezeigt, dass f_Z(z) eine Dichte ist. Aber wie zeige ich jetzt, dass f_Z(z) eine Dichte von Z=X-Y ist?

Vielen Dank für eure Hilfe.

Answer 1

Hallo,

ich sehe 2 Möglichkeiten:

1. Due verwendest die in Deinem vorigen Post angegebene Faltungsformel, dazu schreibst Du X-Y als X+(-Y)

2. Du leitest die Verteilungsfunktion für X-Y her und leitest daraus die Dichte ab.

Ich habe mal letzteres durchgerechnet. Zu bestimmen ist \(F(z)=P(X-z \leq Y)\). Dies geschieht über die Integrale über das Produkt der Dichten von X und Y. Und zwar ist die Menge der Punkte (x,y) mit \(x-z \leq y\) die Halbebene oberhalb der geraden \(y=x-z\). Die Dichten für X und Y sind aber nur im ersten Quadranten nichtnegativ. Man muss also etwa für \(z\geq 0\) berechnen

$$F(z)=P(X-z \leq Y)=\int_0^z dx \int_{0}^{\infty}dy \exp(-x-y)+\int_z^{\infty} dx \int_{x-z}^{\infty}dy \exp(-x-y)$$

Usw.