Zeigen Sie, dass es ein x ∈ I gibt mit f(x) = x.

Question

Aufgabe:

Es sei I = [a, b] ein Intervall und f : I → R stetig.
(a) Es gelte f(I) ⊂ I. Zeigen Sie, dass es ein x ∈ I gibt mit f(x) = x.
(b) Es gelte I ⊂ f(I). Zeigen Sie, dass es ein x ∈ I gibt mit f(x) = x.
Hinweis: Betrachten Sie für beide Aufgabenteile die Funktion g(x) = f(x) − x.

Problem/Ansatz:

Hallo!

Die (a) habe ich bereits verstanden und gelöst, allerdings weiß ich nicht wie ich die (b) bearbeiten soll. Kann mir da eventuell jemand einen Ansatz geben wie ich da vorgehen muss?

Vielen Dank schonmal im Voraus.

Answer 1

Teil b): Ich betrachte 2 Fälle:

1. \(\bf f(a) \leq a\): Weil \(b \in I \sub f(I)\), existiert ein \(c \in (a,b]\) mit \(f(c)=b\). Damit gilt also

$$f(a)-a \leq 0 \text{  und }f(c)-c\geq b-b=0$$Damit hat g in \([a,c]\) eine Nullstelle.

2. \(\bf f(a) > a\): Weil \(a \in I \sub f(I)\), existiert ein \(c \in (a,b]\) mit \(f(c)=a\). Damit gilt also
$$f(a)-a > 0 \text{  und }f(c)-c\leq a-a=0$$Damit hat g in \([a,c]\) eine Nullstelle.