Zur Definition von V∗: Die Elemente dieses Vektorraums sind alle K-linearen Funktionen V→K. Die Elemente sind also Funktionen, das ist trotzdem ein Vektorraum (Das wurde bestimmt schon in der VL gemacht oder kannst du selbst einmal nachrechnen). Elemente eines Vektorraums nennt man Vektoren, kannst du hier also auch machen. Im Kontext würde ich allerdings "Dualvektoren"/"Covektoren" oder ähnliches sagen. Und da diese Covektoren als Definitionsbereich V haben, kann man auch über ihren Kern reden.
Zur a): Wenn v∗,w∗ : V→K Covektoren sind, die U im Kern haben, haben dann λ⋅v∗,v∗+w∗ auch U im Kern? Hat die Nullabbildung 0∗ den Unterraum U im Kern?
Zur b): Nimm dir mal eine Basis b1,b2,… von V und sei v=i∑cibi eine Darstellung von v. Jetzt schauen wir uns die Covektoren bi∗ an, definiert mit der Eigenschaft, dass bi∗(bi)=1 und für alle anderen Basisvektoren gilt bi∗(bj)=0. Zur Erinnerung: Eine Lineare Abbildung ist eindeutig definiert durch die Wahl von Funktionswerten auf einer beliebigen Basis ("Lineare Fortsetzung"), diese Dinger dürfen wir also so definieren. Mach dir mal klar mit einer Rechnung (obige Darstellung einsetzen), dass bi∗(v)=ci gelten muss. Wenn jetzt also dein v die in der Aufgabenstellung geforderte Eigenschaft hat, also auch alle bi∗(v)=0 sind, was folgt dann für v?
c) Du möchtest hier also einen "Umweg" über W machen mit deiner Abbildung. Du musst dir dein w∗ definieren und jetzt die goldene Frage: Wo möchtest du denn ein w=h(x)∈W hinschicken? Natürlich auf v∗(x)! Sonst kann die oben geforderte Gleichung ja gar nicht gelten! Zwei Dinge: Wieso darf ich das (hier ist die Injektivität wichtig!)? Und: Wo schicke ich Vektoren in W hin, die nicht von h getroffen werden? (Tipp: Ist das eigentlich wichtig?)