Bestimmen Sie gemäß der Rückwärtsanalyse Koeffizienten \tilde{a}0, \tilde{a}1, \ldots, \tilde{a}n so, dass …

Question

Text erkannt:

Eine Methode zur Auswertung eines Polynoms
$p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$
ist das Horner Schema. In exakter Arithmetik wird $p(x)$ dabei wie folgt ausgewertet:
Algorithmus 1 Horner-Schema
Eingabe: $\quad x, a_{1}, \ldots, a_{n} \in \mathbb{R}$
Rüickgabe: $p(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$
$q_{n}(x)=a_{n}$
FüR $i=n-1:-1: 0$
$q_{i}(x)=x q_{i+1}(x)+a_{i}$
[ENDE] FÜR
$p(x)=q_{0}(x)$

Es bezeichne u die relative Maschinengenauigkeit.
(a) Bestimmen Sie gemäß der Rückwärtsanalyse Koeffizienten $\tilde{a}_{0}, \tilde{a}_{1}, \ldots, \tilde{a}_{n}$ so, dass die numerische Berechnung von $p(x)$ mittels des Horner Schemas der exakten Auswertung von
$\tilde{q}_{0}(x)=\tilde{a}_{0}+\tilde{a}_{1} x+\cdots+\tilde{a}_{n} x^{n}$
an der Stelle $x$ entspricht. Schätzen Sie den maximalen (komponentenweisen) relativen Rückwärtsfehler ab, indem Sie ein $\sigma_{R}$ bestimmen, sodass
$\frac{\left|a_{j}-\tilde{a}_{j}\right|}{\left|a_{j}\right|} \leqslant \sigma_{R} \cdot \mathbf{u}+\mathcal{O}\left(\mathbf{u}^{2}\right), \quad \text { für alle } j=0,1, \ldots, n \text { gilt. }$
(b) Es sei $\hat{q}_{0}(x)$ das Ergebnis der numerischen Auswertung von $p(x)$ mittels des Horner Schemas. Bestimmen Sie gemäß der Vorwärtsanalyse eine kleinstmögliche Zahl $\sigma_{V}$ so, dass
$\frac{\left|p(x)-\hat{q}_{0}(x)\right|}{|p(x)|} \leqslant \sigma_{V} \cdot \mathbf{u}+\mathcal{O}\left(\mathbf{u}^{2}\right) \text { gilt. }$

Nehmen Sie dazu vereinfachend an, dass $x \geqslant 0$ und $a_{j} \geqslant 0, j=0,1, \ldots, n$, gilt.

Hallo,

ich bin neu hier und bitte um Hilfe. Ich habe das Horner-Schema leider nicht verstanden und finde keinen Ansatz für die Aufgaben. Hat jemand eine Lösung für mich. Ich bedanke mich schon mal im Voraus.

Mit freundlichen Grüßen

Tim

Comments

Ein Ansatz oder eine Schritt für Schritt Anleitung würde mir auch schon helfen, aber ich komme immer noch nicht weiter

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In dieser Aufgabe kommen mehrere Dinge zusammen. Wenn Du schon das Horner-Schema nicht verstanden hast, schau Dir erstmal das mit den Unterlagen aus der Vorlesung, oder aus dem Internet, oder in Videos, an. Rechne Beispiele dazu selbst (nicht lesen und anschauen, sondern selbst rechnen). Bis zur Lösung dieser Aufgabe ist es dann immer noch ein ganzes Stück Weg.

Answer 1

Zu den numerischen Betrachtungen sollest Du vielleicht in der Informatik nachfragen?

Das Horner-Schema

Du wirst eine Auswertung machen sollen als so was betrachten wie

$p(x):= x^{6} - 5 \; x^{5} + 8 \; x^{4} - 2 \; x^{3} + x^{2} + 8 \; x - 6$

$\to \, \left(\left(\left(\left(\left(x - 5 \right) \; x + 8 \right) \; x - 2 \right) \; x + 1 \right) \; x + 8 \right) \; x - 6$

und den Ausdruck (von innen nach außen für ein x) durch die Schleife rechnen lassen...

x=2

$\small \left(\begin{array}{rr}0& \left\{ 1, -5, 8, -2, 1, 8, -6 \right\} \\1& \left\{ -5, 8, -2, 1, 8, -6 \right\} \\-3& \left\{ 8, -2, 1, 8, -6 \right\} \\2& \left\{ -2, 1, 8, -6 \right\} \\2& \left\{ 1, 8, -6 \right\} \\5& \left\{ 8, -6 \right\} \\18& \left\{ -6 \right\} \\30&?\\\end{array}\right)$

Comments

Zu den numerischen Betrachtungen sollest Du vielleicht in der Informatik nachfragen?

Numerische Mathematik ist ein Teilgebiet der Mathematik und nicht der Informatik.