bester weg für induktion

Question

n >= 0,

Aufgabe: n^3+(n+1)^3+(n+2)^3 = 9k für manche k ∈ Z

…

Problem/Ansatz:

Hallo Ich habe den ersten Schritt gemacht und n = 0 gesetzt aber jetzt weiß ich nicht, was der beste weg wäre um fortzufahren

induktionsanfang: n = 0

0^3+(0+1)^3+(0+2)^3 = 9k

                      9 = 9k für k = 1

                      9 = 9x1

                      9 = 9

Ich muss diese aufgabe mit einer vollständigen Induktion beweisen, aber weiß nicht genau, wie ich dies anstellen soll.

Comments

Wenn n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 ∈ 9ℤ ist, dann ist auch
(n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 + 9·(n^2+3n+3) ∈ 9ℤ.

Answer 1

Betrachte im Induktionsschritt: \((n+1)^3+(n+2)^3+(n+3)^3\) und wende auf \((n+3)^3\) den binomischen Lehrsatz an. Das ergibt \(n^3 + 9n^2+27n+27\). Und jetzt überlege mal, wo du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst und zeige, dass der Rest, der übrig bleibt, ebenfalls durch 9 teilbar ist.