Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten :

Question

Aufgabe:

Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten :

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Aufgabe 12.3 Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten:
(a) \( y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=x+\mathrm{e}^{4 x} \)
(b) \( y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}+9 y=20 \mathrm{e}^{-x} \)
(c) \( y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=4 x \mathrm{e}^{x}-\sin (x) \)

Answer 1

Hallo,

a)

Ansatz: y= e^(λx) , 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen

->Charakt. Gleichung:

λ^2 -8 λ +16=0

λ_1,2= 4

yh= \( C_{1} e^{4 x}+C_{2} e^{4 x} x \)

Ansätze für die part.Lösung ->hier:

https://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

die 4 von \( e^{4x} \) ist doppelte Lösung der charakteristischen Gleichung, deswegen das \( x^{2} \)

y=yh+yp

\( y(x)=c_{2} e^{4 x} x+c_{1} e^{4 x}+\frac{1}{2} e^{4 x} x^{2}+\frac{x}{16}+\frac{1}{32} \)