Ist die Abbildung g injektiv surjektiv bijektiv Fünfeck

Question

Aufgabe:

sei F ein regelmäßiges fünfeck mit eckenmenge 5 ={1,2,3,4,5} sowie sym(f) dessen symmetriegruppe. sei weiter g: sym(f) -> 5 die abbildung die jeder symmetrie ihren wert an stelle 3 zuordnet.

a) Ist die Abbildung g injektiv surjektiv bijektiv?

b) Gibt es eine Untergruupe U⊂Sym(F) derart, dass die Einschränkung g|u : U—> 5 von g auf U bijektiv ist.

Comments

Was hast du schon versucht?

Das "unveränderte" Fünfeck (also die Identität) hat an dritter Stelle die Ecke 3. Kennst du vielleicht eine weitere Symmetrie, die auch an dritter Stelle immer noch die Ecke 3 hat? Wie groß ist Sym(F) eigentlich im Vergleich zu der Labelmenge?

Zur b): Damit die Einschränkung von g überhaupt bijektiv sein kann, muss U Größe 5 haben. Was ist die erste Untergruppe der Größe 5 von Sym(F), die dir einfällt?

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Ich hab immer noch Probleme damit. Also die Identität hat die zahl 3 an der Stelle 3 und eine Spiegelung mit der Permutation 54321

Was ist mit labelmenge gemeint?

Answer 1

sym(f) hat wenige Elemente. Wenn dir die Ideen fehlen, wie du durch Überlegungen vermeiden kannst, alle Elemente von sym(f) einzeln zu überprüfen, dann ist es mit vertretbarem Aufwand möglich, alle Elemente von sym(f) einzeln zu überprüfen