Untersuche für jede Matrix, die lineare Abbildung ob Injektiv, surjektiv oder bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Untersuche für jede Matrix an Hand ihrer Spalten, ob die zugehörige lineare Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

\( \left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) \).

Answer 1

1. Wenn die Spalten der Matrix ein Erzeugendensystem des Zielraumes

bilden, ist die lineare Abbildung surjektiv;

die Zeilenanzahl der Matrix ist die Dimension des Zielraums.

2. eine quadratische Matrix ist genau dann injektiv (und surjektiv und bijektiv),

wenn ihre Spalten linear unabhängig sind.

3. Hat eine Matrix mehr Spalten als Zeilen, so ist sie nicht injektiv.

Nun sollte es für dich ein Leichtes sein !