numerischen Wert der Wahrscheinlichkeit angeben

Question

Aufgabe:

Seien $X_{1} \sim \mathcal{N}(0,1)$ und $X_{2} \sim \mathcal{N}(0,4)$ unabhängige Zufallsvariablen. Geben Sie den numerischen Wert der Wahrscheinlichkeit $\mathbb{P}\left(4 X_{1}^{2}+X_{2}^{2} \leq 5\right)$ an.

Hinweis: in Excel/LibreOffice (englische Version) gibt die Funktion CHISQ.DIST $(\mathrm{x}, \mathrm{n}, 1)$ die Wahrscheinlichkeit $\mathbb{P}(X \leq x)$ für eine $\chi^{2}$-verteilte Zufallsvariable $X$ mit Parameter $n$.

Problem/Ansatz:

Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!

Comments

Was hast du denn probiert?

Der Hinweis weist doch klar den Weg in Richtung Chi-Quadrat-Verteilung.

Bei so einer simplen Aufgabe sollte man nicht gleich aufgeben.

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Was bedeutet das Tilde-Zeichen vor N?

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bedeutet "ist verteilt wie"

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Danke.

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@Lionel: Du hast die Frage schon vor 1 Jahr gestellt: https://www.mathelounge.de/991073/

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Die wurde da aber "mächtig falsch" beantwortet...Aber es funktioniert da genau ähnlich.

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Die Tabellenkalkulation von LibreOffice berechnet es mit demselben Ergebnis, wie wenn man die Chiquadrat-Verteilungsfunktion bei einem CAS eingibt:

Answer 1

Es ist $P(4X_1^2+X_2^2 \leq 5) = P(X_1^2 +(\frac{1}{2}X_2)^2 \leq \frac{5}{4}) =P(Z \leq \frac{5}{4})$.

Nun ist $Z$ aber $\chi^2$-verteilt (Summe standardnormalverteilter ZV) mit $n=2$ Freiheitsgraden. Alles Weitere ist in der Aufgabe beschrieben.

Comments

Wieso könnte man nicht sagen:

$P(4X_1^2+X_2^2 \leq 5) = P((2X_1)^2 +X_2^2 \leq 5) =P(Z \leq 5)$

?

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Weil die ZV dann nicht standardnormalverteilt sind und $Z$ dann nicht $\chi^2$-verteilt.

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ahja, danke :)