Hier ist meine Lösung für die Aufgabe.
\underline{Vor.}
\begin{enumerate}
\item [(I)] Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum.
Sei $\mathbb A:=\{X \setminus O| O \in \tau\}$.
\end{enumerate}
\
\underline{Beh.}
\begin{enumerate}
\item [(I)] $\emptyset \in \mathbb A$ und $X \in \mathbb A$
\item [(II)] $\forall$ A,B $\in \mathbb A: A\cup B \in \mathbb A$
\item [(II)] $\forall \mathbb M \subset \mathbb A: \cap_{M \in \mathbb M} M \in \mathbb A$
\end{enumerate}
\begin{Solution}
\begin{enumerate}
\item [(I)] Zu zeigen ist: $ \emptyset \in \mathbb A =\{X \setminus O| O \in \tau\}$.
D.h. $\exists O \in \tau: \emptyset = X \setminus O$.
Setze $O:= X$. $X \in \tau$ nach Definition 4.2.1 und $X \setminus X = \emptyset$. Damit gilt $\emptyset \in \mathbb A$.
Zu zeigen ist: $ X \in \mathbb A =\{X \setminus O| O \in \tau\}$.
D.h. $\exists O \in \tau: X = X \setminus O$.
Setze $O: = \emptyset$. $\emptyset \in \tau$ nach Definition 4.2.1 und $X \setminus \emptyset = X$. Damit gilt $X \in \mathbb A$.
\item [(II)] Seien $A, B \in \mathbb A$ gegeben. Zu zeigen ist: $A\cup B \in \mathbb A$.
Wegen $A \in \mathbb A$ gilt $\exists O \in \mathbb A: A = X \setminus O$.
Wähle $O_1 \in \mathbb A$ mit $A = X\setminus O_1$.
Wegen $B \in \mathbb A$ gilt $\exists O \in \mathbb A: B = X \setminus O$.
Wähle $O_2 \in \mathbb A$ mit $B = X\setminus O_2$.
Dann ist $A\cup B = (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2) = X \setminus (O_1 \cap O_2)$.
Zu zeigen sind: $(X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2) \subset X \setminus (O_1 \cap O_2)$ und $ X \setminus (O_1 \cap O_2) \subset (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2)$.
Wir beginnen mit $(X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2) \subset X \setminus (O_1 \cap O_2)$.
D.h. $\forall x \in (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2): x \in X \setminus (O_1 \cap O_2)$.
Sei $x \in (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2)$ gegeben. Zu zeigen ist: $x \in X \setminus (O_1 \cap O_2)$.
Nach Voraussetzung gilt $(x \in X \setminus O_1) \vee (x \in X \setminus O_2)$. Wir führen eine Fallunterscheidung durch.
Fall $x \in X \setminus O_1$: $x \in X$ und $x \notin O_1$. Zu zeigen ist: $x \notin (O_1 \cap O_2)$. Wir gehen davon aus, dass $x\in (O_1 \cap O_2)$. Dann ist $x\in O_1$ und $x \in O_2$ im Widerspruch zu $x \notin O_1$. D.h. $x \notin (O_1 \cap O_2)$ und $x \in X$, damit folgt $x \in X \setminus (O_1 \cap O_2)$.
Fall $x \in X \setminus O_2$: $x \in X$ und $x \notin O_2$. Zu zeigen ist: $x \notin (O_1 \cap O_2)$. Wir gehen davon aus, dass $x\in (O_1 \cap O_2)$. Dann ist $x\in O_1$ und $x \in O_2$ im Widerspruch zu $x \notin O_2$. D.h. $x \notin (O_1 \cap O_2)$ und $x \in X$, damit folgt $x \in X \setminus (O_1 \cap O_2)$.
Jetzt zeigen wir $ X \setminus (O_1 \cap O_2) \subset (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2)$
D.h. $\forall x \in X \setminus (O_1 \cap O_2): x \in (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2)$.
Sei $x \in X \setminus (O_1 \cap O_2)$ gegeben. Zu zeigen ist: $x \in (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2)$.
D.h. $x \in X$ und $x \notin O_1 \cap O_2$, also $x \notin O_1$ oder $x \notin O_2$. Damit folgt $x \in X \setminus O_1$ oder $x \in X \setminus O_2$.
D.h. $x \in (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2)$.
Da $\tau$ eine Topologie mit $O_1, O_2 \in \tau$ ist, ist $O_1 \cap O_2 \in \tau$ und damit gilt $A\cup B = X \setminus (O_1 \cap O_2) \in \mathbb {A}$.
\item [(III)] Sei $\mathbb M \subset \mathbb A$ gegeben. Zu zeigen ist $\cap_{M \in \mathbb M} M \in \mathbb A$.
Wir definieren $\mathbb M = \{X\setminus O_M| O_M \in \tau\}$.
Dann ist $\cap_{M \in \mathbb M} M = \cap_{M \in \mathbb M} X\setminus O_M = X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M$.
Zu zeigen sind: $\cap_{M \in \mathbb M} X \setminus O_M \subset X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M$ und $X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M \subset \cap_{M \in \mathbb M} X \setminus O_M$.
Wir beginnen mit $\cap_{M \in \mathbb M} X \setminus O_M \subset X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M$.
D.h. $\forall x \in \cap_{M \in \mathbb M} X \setminus O_M: x \in X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M$.
Sei $x \in \cap_{M \in \mathbb M} X \setminus O_M $ gegeben. Zu zeigen ist: $x \in X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M$.
D.h. $\forall M \in \mathbb M: x \in X\setminus O_M$. D.h. $\forall M \in \mathbb {M}: x \in X \ \text {und} \ x \notin O_M$. Wir gehen davon aus, dass $x \in \cup_{M \in \mathbb M} O_M$. D.h. $\exists M \in \mathbb M: x \in O_M$ im Widerspruch zu $\forall M \in \mathbb {M}: x \notin O_M$. Damit gilt $x \in X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M$.
Jetzt zeigen wir $X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M \subset \cap_{M \in \mathbb M} X \setminus O_M $.
D.h. $\forall x \in X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M: x \in \cap_{M \in \mathbb M} (X \setminus O_M)$.
Sei $x \in X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M$ gegeben. Zu zeigen ist: $x \in \cap_{M \in \mathbb M} (X \setminus O_M)$.
D.h. $x \in X$ und $x \notin \cup_{M \in \mathbb M} O_M$, also $\exists M \in \mathbb M: x \notin O_M$. D.h. $\exists M \in \mathbb M: x \in X \setminus O_M$. Wir gehen davon aus, dass $x \notin \cap_{M \in \mathbb M} (X \setminus O_M)$. D.h. $\forall M \in \mathbb M: x \notin X \setminus O_M$ im Widerspruch zu $\exists M \in \mathbb M: x \in X \setminus O_M$. Damit gilt $x \in \cap_{M \in \mathbb M} (X \setminus O_M)$.
Da $\tau$ eine Topologie mit $O_M \in \tau$ für $M \in \mathbb M$ ist, ist $\cup_{M \in \mathbb M} O_M \in \tau$ und damit gilt $\cap_{M \in \mathbb M} M = X \setminus \cup_{M \in \mathbb M} O_M \in \mathbb {A}$.
\end{enumerate}
Als Feedback habe ich bekommen: Geben Sie bitte einen präzisen Ausdruck an, wie zu einer Menge $M aus \mathbb {M}$ ein zugehöriges O_M aus $\tau$ definiert werden kann, sodass $M=X\O_M$ gilt. DANKE FÜR DIE HILFE!!!
