f(x)=10x*e-1/2 Nullstellen,Hoch-Tiefpunkt,Stammfunktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=10x*e-1/2x a)Aufgabe:Berechne…die Nullstellen,Hoch,Tief und Wendepunkt

b)Bestimmen Sie bitte in welchen Bereichen der Graph von f linkgsgekrümt oder rechtsgekrümmt ist. Skizzieren Sie den Verlauf des Graphen von f

c)Zeigen sie das F(x)=-20(x+2)*e-1/2x eine Stammfunktion von f ist.

d) Berechnen Sie mithilfe von F den Inhalt der Fläche, die von f mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x - 10 eingeschlossen wird.

e) E Der Graph von f schließt mit der ×-Achse auf dem Intervall [0; a] eine Fläche ein.
Für welchen Wert von a beträgt der Flächeninhalt 35?

Problem/Ansatz:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=10x*e-1/2x a)Aufgabe:Berechne…die Nullstellen,Hoch,Tief und Wendepunkt

Ich bräuchte Bitte dringend Hilfe bei der Lösung der Aufgaben ich bin jeden unendlich dankbar .

Thank you very much…

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Funktion f mit f(x)=10x*e-1/2x

10x*e-1/2x ≠ 10x*e^-1/2x

F(x)=-20(x+2)*e-1/2x

-20(x+2)*e-1/2x ≠ -20(x+2)*e^-1/2x

Welche Funktionen sind gemeint?

Was von der Aufgabe kannst Du, was nicht?

... der Geraden mit der Gleichung x - 10

Das ist keine Gleichung. Wie lautet die Gleichung?

Answer 1

Nullstellen:

f(x) = 0

10x=0

x= 0

Extrema:

f '(x) = 0

Produktregel:

u= 10x, u' = 10

v= e^(-x/2) , v' = -1/2*e^(-x/2)

f '(x) = 10*e^(-x/2)- 5x*e^(-x/2) = e^(-x/2)*(10-5x)

10-5x= 0

x= 2

f ''(x):

u= e^(-x/2) , u' = -1/2*e^(-x/2)

v= 10-5x, v' = -5

f''(x) = -1/2*e^(-x/2)(10-5x)+ e^(-x/2)*(-5) = e^(-x/2)*(2,5x-10)

f''(2) = e^-1*(-5) = -5/e (Maximum)

Wendepunkt:

f ''(x) =0

2,5x-10 =0

x= 4

b) https://de.serlo.org/mathe/1649/kr%C3%BCmmungsverhalten-eines-funkti…

c) Leite F(x) ab. Es muss gelten: F'(x) = f(x)

d) Integriere f(x) von 0 bis 10: [F(x)]von 0 bis 10

e) [F(x)]von 0 bis a = 35

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Comments

Vielen lieben Dank schon mal für alles was du gemacht hast aber ich hätte noch eine Frage was ist der Tiefpunkt oder wie wird er hier berechnet?

Und bei c) bin ich überfragt wie ich zeigen soll das, dass eine stammfunktion ist.

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Vielen lieben Dank schon mal für alles was du gemacht hast aber ich hätte noch eine Frage was ist der Tiefpunkt oder wie wird er hier berechnet?

Schau mal bei "Moliets"

Answer 2

$f(x)=10x*e^{-\frac{1}{2}x}=\frac{10x}{e^{\frac{1}{2}x}}$

a)

Nullstellen:

$\frac{10x}{e^{\frac{1}{2}x}}=0$

$x=0$

Hoch-, Tiefpunkt :

$f(x)=\frac{10x}{e^{\frac{1}{2}x}}$

Quotientenregel:

$\frac{Z'\cdot N-Z \cdot N'}{N^{2}}$

$Z=10x$→ $Z'=10$

$N=e^{\frac{1}{2}x}$→ $N'=\frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x}$

$N^2=(e^{\frac{1}{2}x})^2$

$f'(x)=\frac{10 \cdot e^{\frac{1}{2}x}-10x \cdot \frac{1}{2} \cdot e^{\frac{1}{2}x} }{(e^{\frac{1}{2}x})^2 }$ gekürzt:

$f'(x)=\frac{10 -5x }{e^{\frac{1}{2}x} }$

$\frac{10 -5x }{e^{\frac{1}{2}x} }=0$

$x=2$      $f(2)=\frac{20}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}=\frac{20}{e}$

Art des Extremwertes:

$f''(x)=\frac{-5\cdot e^{\frac{1}{2}x}- (10 -5x)e^{\frac{1}{2}x}\cdot \frac{1}{2} }{(e^{\frac{1}{2}x} )^2}=\frac{-5 - (10 -5x)\cdot \frac{1}{2} }{e^{\frac{1}{2}x} }$

$f''(2)=\frac{-5 }{e }<0$ Maximum

Wendepunkt:

$f''(x)=\frac{-15+5x)\cdot \frac{1}{2} }{e^{\frac{1}{2}x} }$

$\frac{(-15+5x)\cdot \frac{1}{2} }{e^{\frac{1}{2}x} }=0$

$x=3$      $f(3)=\frac{30}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}=\frac{30}{e^{1,5}}$

Comments

Dankeschön, dass ist unsagbar freundlich und Sie haben mir sehr geholfen:)

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Könnten Sie mir bitte auch noch bei der Aufgabe c)d) und e) helfen bei der Aufgabe e soll man einen Taschenrechner benutzten aber ich weiß nicht wie das mit der Rechnung funktioniert.

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Und bei c) bin ich überfragt wie ich zeigen soll das, dass eine stammfunktion ist

.Leite F(x) ab! Es muss f(x) dabei rauskommen. Produktregel anwenden.

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Herleitung der Stammfunktion von $f(x)$

$f(x)=10x \cdot e^{-\frac{1}{2}x}$

Stammfunktion berechnen: (Hier über partielle Integration)

$\int\limits_{}^{} a'\cdot b=a \cdot b-\int\limits_{}^{} a\cdot b'$

Du kannst nun festlegen, ob $a'=10x$ oder $a'=e^{-\frac{1}{2}x}$ sein soll.

Ich wähle mal $a'=e^{-\frac{1}{2}x}$

$\int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx= \int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx\cdot 10x-\int\limits_{}^{}...dx$  

Einschub:

$\int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx$

Substitution:

$u=-\frac{1}{2}x$→ $\frac{du}{dx}=-\frac{1}{2}$ → $dx=-2du$

$\int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx=\int\limits_{}^{}e^u(-2du)=-2 e^u$

Resubstitution:

$\int\limits_{}^{}e^{-\frac{1}{2}x}dx = -2 e^{-\frac{1}{2}x} +C$

Mit $C=0$:

$\int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx= (-2 e^{-\frac{1}{2}x})\cdot 10x-\int\limits_{}^{}(-2 e^{-\frac{1}{2}x})\cdot 10dx$

$\int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx=-20x \cdot e^{-\frac{1}{2}x} -40 e^{-\frac{1}{2}x}$

$\int\limits_{}^{}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx=-20e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (x+2 )$

d) Berechnen Sie mithilfe von F den Inhalt der Fläche, die von f mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung x - 10 eingeschlossen wird.

Einen Taschenrechner habe ich nicht und könnte es damit auch nicht.

$A= \int\limits_{0}^{10}10x*e^{-\frac{1}{2}x}dx=[-20e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (x+2 )]_{0}^{10}\\=[-240 \cdot e^{-5}] -[-20 \cdot 1\cdot 2]\\=-240 \cdot e^{-5}+40$

$A≈38,4$FE

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Das ist überflüssig, da die Aufgabe bewusst so gestellt ist, dass man den Nachweis über die Ableitung von $F$ bringt.

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Cui detrimento?

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Das ist überflüssig, da die Aufgabe bewusst so gestellt ist, dass man den Nachweis über die Ableitung von $F$ bringt.

Für meine grauen Zellen ist die Herleitung sehr wichtig.

e)  Der Graph von f schließt mit der x-Achse auf dem Intervall [0; a] eine Fläche ein.
Für welchen Wert von a beträgt der Flächeninhalt 35?

Dafür komme ich hier alleine nicht zur Lösung:

$35=[-20e^{-\frac{1}{2}x} \cdot (x+2 )]_{0}^{a}\\= [ -20e^{-\frac{1}{2}a} \cdot (a+2 )]-[-20e^{-\frac{1}{2}\cdot 0} \cdot (0+2 )]\\= -20e^{-\frac{1}{2}a} \cdot (a+2 )+40$

$-5= -20e^{-\frac{1}{2}a} \cdot (a+2 )|:(-20)$

$\frac{1}{4}= e^{-\frac{1}{2}a} \cdot (a+2 )$

Wolfram sagt:

$a≈7,21$

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Dankeschön ich wünsche Ihnen alles gute jetzt verstehe ich es :)