Funktionenschar berechnen

Question

1. Gegeben ist die Funktionenschar f_t (t∈ℝ⁺). Bestimmen Sie die Nullstellen sowie Hoch-, Tief- und Wendepunkte und skizzieren Sie die Graphen für t = 1, t = 2 und t= 3.

a)f_t(x) = x² - 2tx + t²

b) f_t(x)= (x+t)³

2. Gegeben ist die Funktion f_t (t∈ℝ⁺). Bestimmen Sie die Steigung des zugehörigen Graphen an der Stelle 0. Für welchen Wert von t ist diese Steigung 1?

a) f_t (x) = tx² +tx

3. Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit a = ℝ⁺. Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von a und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird. Für welches a ist dieser Inhalt 10 Flächeneinheiten groß?

a) f_a (x) = x² - ax

Comments

Die Kurvendiskussion mit zwei Variabeln.. Klingt schwerer als es ist.

Stell dir t als eine Zahl vor, die im ersten Beispiel eben an die 2 geheftet ist. Lass dich davon nicht ablenken, dass dann bei den Nullstellen Werte wie √2*t³ herauskommen, Wäre t = 1, käme als Ergebnis √2 raus oder noch einfacher 1,4142. Daher einfach dieselben Schritte wie bei der normalen Kurvendiskussion durchführen.

Bei der b ist zu beachten, dass du das Pascalsche Dreieck benutzen musst, wenn du Fragen dazu hast, gerne nachfragen.

Bald werden sicherlich deine anderen Aufgaben bearbeitet, Geduld

Gruß Luis

Answer 1

3. Gegeben ist die Funktionenschar f_a mit a = ℝ⁺. Bestimmen Sie die Nullstellen in Abhängigkeit von a und berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen und der x-Achse eingeschlossen wird. Für welches a ist dieser Inhalt 10 Flächeneinheiten groß?

a) f_a (x) = x² - ax  Hier ist es so ähnlich wie bei der Kurvendisk.  Die Nullstellen sind
0 und  a und wegen a>0 sind sie auch verschieden und die Fläche berechnest du durch
Integral von o bis a über x² - ax    dx  =   (1/3) x^3 - (1/2) a x^2 in den Grenzen von 0 bis a
=   (1/3) a^3 - (1/2) a *a^2 =  -1/6 a^3  Das Integral ist neg. da die Fläche unter der x-Achse liegt.
Also ist das Flächenmaß   1/6 a^3

Und    1/6 a^3   = 10
                     a^3 = 60
                     a = 3.Wurzel(60)