Bestimme die Parameter r,s,t - Matrizen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Matrize A= \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & -1 & 3 \end{pmatrix} \) und B = \( \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 3 \\ -3 & -8 & -6 \end{pmatrix} \)

a) Bestimme A^-1 hier habe ich die Matrix raus: \( \begin{pmatrix} -5/12 & 8/17 & -3/17 \\ 2/17 & 7/17 & 8/17 \\ -4/17 & 3/17 & 1/17 \end{pmatrix} \)

Nun lautet b) Bestimme r,s,t ∈ ℝ so, dass A² = r * A^-1 + s*A +t*E

für E ist die Einheitsmatrix gemeint.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich das ich komme einfach nicht weiter...

Answer 1

Aloha :)

zu a) Bei der Bestimmung der inversen Matrix \(A^{-1}\) muss einiges sehr schief gelaufen sein:$$\begin{array}{rrr||rrr||l}1 & 1 & -5 & 1 & 0 & 0 &\\2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 1}\\-2 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 &+2\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 1 & -5 & 1 & 0 & 0 &+\text{Zeile 2}\\0 & -1 & 8 & -2 & 1 & 0 &\cdot(-1)\\0 & 1 & -7 & 2 & 0 & 1 &+\text{Zeile 2}\\\hline1 & 0 & 3 & -1 & 1 & 0 &-3\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 1 & -8 & 2 & -1 & 0 &+8\cdot\text{Zeile 3}\\0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\\hline1 & 0 & 0 & -1 & -2 & -3\\0 & 1 & 0 & 2 & 7 & 8\\0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\end{array}$$Daher ist:$$A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3\\2 & 7 & 8\\0 & 1 & 1\end{array}\right)$$

zu b) Wir sollen folgende Linearkombination bilden:$$A^2=r\cdot A^{-1}+s\cdot A+t\cdot E$$Dazu setzen wir die Matrix \(A\) ein:$$\small\left(\begin{array}{rrr}13 & 7 & -22\\8 & 5 & -18\\-10 & -6 & 21\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{rrr}-1 & -2 & -3\\2 & 7 & 8\\0 & 1 & 1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & -5\\2 & 1 & -2\\-2 & -1 & 3\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wegen der \((-10)\) links unten, muss \(\pink{s=5}\) gelten.

Wegen der \(8\) darüber, muss weiter gelten: \(8=2r+2s=2r+10\implies\pink{r=-1}\).

Aus der \(13\) darüber folgt dann: \(13=-r+s+t=6+t\implies\pink{t=7}\)