Nichtlineares Gleichungssystem lösen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei das nichtlineare Gleichungssystem

sin²(x) - y = 0

x + y² - 2 = 0

Die Existenz einer Lösung können sie voraussetzen.

a)Schlagen Sie ein numerisches Verfahren zur Lösung vor und begründen Sie Ihre Wahl.

b) Führen Sie einen Iterationsschritt mit dem Startwert (π/2, 1) durch

Problem/Ansatz:

Ich habe erst an das mehrdimensionale Newton-Verfahren gedacht, aber dafür müsste das Gleichungssystem doch linear sein oder?

Comments

Mit dem Einsetzverfahren ergibt sich:

y= sin^2(x)

-> x +sin^4(x) -2 = 0

Answer 1

Das mehrdimensionale Newton-Verfahren ist hier eine sinnvolle Möglichkeit.

LGS kann man auch damit lösen, aber dafür gibt es bessere Verfahren.

Also, rechne los.

Comments

x_n+1 = x_n - D_f(x_n)^-1 · f(x_n)

D_f (x) = \( \begin{pmatrix} 2sin(x)cos(x) & -1 \\ 1 & 2y \end{pmatrix} \)

D_f (x₀) = \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)

x₁ = \( \begin{pmatrix} \frac{π}{2}\\1 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)^-1 · \( \begin{pmatrix} \frac{π}{2}\\1 \end{pmatrix} \)

Und das ganze dann ausrechnen?

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Ich muss x₀ ja noch in die Funktion einsetzen.

x₁ = \( \begin{pmatrix} \frac{π}{2}\\1 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)-1 · \( \begin{pmatrix} 0\\\frac{π}{2} - 1 \end{pmatrix} \)

= \( \begin{pmatrix} \frac{π}{2}\\1 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) · \( \begin{pmatrix} 0\\\frac{π}{2} - 1 \end{pmatrix} \)

= \( \begin{pmatrix} \frac{π}{2}\\1 \end{pmatrix} \) - \( \begin{pmatrix} \frac{π}{2} - 1\\0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \)

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Ja. Eine saubere Lösung fängt aber damit an, dass man \(F(x,y)\) definiert. Es gibt auch andere Möglichkeiten als die von Dir gewählte.

Die zweite Version stimmt.