Wahr oder Falsch Jede konvergente Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.

Question

Aufgabe:

Kreuze Wahr oder Falsch an

Jede konvergente Folge besitzt eine konvergente Teilfolge.

A. Wahr
B. Falsch

Problem/Ansatz:

Ich habe mich für Falsch entschieden, weil ich dachte, das muss nicht immer sein. Aber mir fallen keine Ausnahmen ein. Kennt Ihr vielleicht gute Ausnahmen? Ich würde mich sehr freuen.

Answer 1

Ich denke wenn eine Folge konvergiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge.

Also ist die Aussage wahr.

Answer 2

Für jede Folge \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ist \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) die "triviale Teilfolge". Ist \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) konvergente Folge, dann ist \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) eine konvergente Teilfolge. Damit ist die Aufgabe irgendwie ziemlich dumm.

Um etwas Intuition zu üben, könntest du dich mit folgendem Fakt beschäftigen: Ich habe gerade eine sehr spezielle Teilfolge gewählt, aber tatsächlich gilt: Jede Teilfolge einer konvergenten Folge ist konvergent (und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert, wohin denn sonst?). Ich hätte also eine x-beliebige Teilfolge angeben können, und das Beispiel hätte funktioniert. Falls du nicht auf den Beweis kommst, siehe hier (https://proofwiki.org/wiki/Limit_of_Subsequence_equals_Limit_of_Sequence/Real_Numbers) oder hier (https://www.math.stonybrook.edu/~jstarr/M320s15/M320s15MTpracsolns.pdf Aufgabe 2 Teil 1 der Lösung).

Answer 3

Wenn eine Folge konvergiert, dann sind ab irgendeinem Index N alle Folgenglieder innerhalb einer beliebig kleinen epsilon-Umgebung. Das trifft natürlich auch für die Folgenglieder zu, die sich in einer beliebig ausgewählten Teilfolge befinden...