Überprüfen der Inzidenzaxiome (E := {(x,y) ∈ R2 : x^2 + y^2<1} ) G=....

Question

Aufgabe:

Sei E die Einheitskreisscheibe in R^2, d.h.
E := {(x,y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 <1}
und sei G das System aller nicht leeren Teilmengen g von E, für die es einen Kreis K in
R^2 vom Radius 1 und mit g = E∩K gibt. Zeigen Sie, dass (E,G) eine ebene Geometrie
ist, in der die Inzidenzaxiome (I2) und (I3) erfüllt sind und in der zusätzlich gilt,
dass durch je zwei verschiedene Punkte genau zwei Geraden verlaufen.

(I2):= zu jeder Grade g aus G, existieren A,B aus E mit A in g und B in g

(I3):= Punkt in allgemeiner Lage

Problem/Ansatz: Ich bin mir ziemlich sicher das ich von der Aufgabe ein bildliches Verständnis habe und auch in Worten ausdrücken könnte, wieso die zu überprüfenden Dinge stimmen.

(I3) folgt glaube ich daraus, dass g = E∩K mit Radius des Kreise K=1 per Vor. , welches uns immer ermöglicht ein punkt in allgemeiner Lage zu finden. (I2) und beim zusätzlichen Punkt bleibt es nur beim bildlichen Verständnis :/ . Würde mich um Hilfe jeglicher Art freuen :)

Ergänzung: Ich stelle mir die Graden ähnlich wie in der poicareschen Einheitskreisscheibe vor. Falls meine Vorstellung stimmt, könnte ich analog vorgehen, um die einzelnen Axiome zu beweisen ?

Answer 1

Zu zwei Punkten A,B findet man die beiden Verbindungsgeraden so: Schlage Kreise vom Radius 1 um A und B, die schneiden sich in zwei Punkten S₁(A,B), S₂(A,B) und die Kreisabschnitte der Einheitskreise um diese, die in E liegen, sind die gesuchten Geraden.

Zu jedem Punkt sind deren S-Punkte eindeutig bestimmt. Also haben 3 Punkte, die nicht auf derselben Geraden liegen, verschiedene S-Punkte, sind also nicht kollinear.

Comments

danke für die Hilfe :)