Extrempunkte Partielle Ableitung, wo liegt der Rechenfehler?

Question

Aufgabe:

Bestimme die Extrempunkte von der folgenden Funktion: F(x,y)=1/3x³+1/3y³-9x-16y

Problem/Ansatz:

Ich habe meines erachten nach richtig gerechnet, jedoch sind die Werte, die ich nach einsetzen von +-4,5 in (II) -> 4,25 und -36,25 sehr merkwürdig. Zudem kommen für y dann noch merkwürdigere Werte raus.(153/8 und -163,125) Könnt ihr mir bitte sagen, wo der Fehler liegt?

Text erkannt:

$\begin{array}{l} f(x, y)=1 / 3 x^{3}+1 / 3 y^{3}-9 x-16 y \\ f x=x^{2}-9 \\ f y=y^{2}-16 \\ f x x=2 x \\ f y y=2 y \\ f x y=0 \end{array}$

Ableitungen gleich 0 setzen
$1 x^{2}-9=0$

Jetzt kann ich entweder nach $x$ (I) oder nach $y(I I)$ auflösen. Ich entscheide mich für $x$
II $y^{2}-16=0$
$\begin{array}{ll} x^{2}-9=0 & \mid+9 \\ x^{2}=9 & \mid: 2 \\ x=+-4,5 & \end{array}$

Jetzt muss ich die +- 4,5 in die y (II) einsetzen, um die X Werte zu bestimmen.
$\begin{array}{l} 4,5^{2}-16=4,25 \\ -4,5^{2}-16=-36,25 \end{array}$

Nun habe ich $x 1=4,25$ und $x 2=-36,25$ raus
jetzt kann ich die $x 1$ und $x 2$ in in die aufgelöste funktion von $x=4,5$ einsetzen.
$\begin{array}{l} x=4,5^{*} 4,25=153 / 8 \\ x=4,5^{*}-36,25=-163,125 \end{array}$

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte findest du dort, wo der Gradient verschwindet:$$\operatorname{grad}F(x;y)=\binom{x^2-9}{y^2-16}=\binom{(x+3)(x-3)}{(y+4)(y-4)}\stackrel!=\binom{0}{0}$$Das liefert 4 Kandidaten: $(\pm3|\pm4)$.

Um zu entscheiden, ob und welche Extremstellen dies sind, bilden wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y)=\begin{pmatrix}2x & 0\\0 & 2y\end{pmatrix}$$Da die Hesse-Matrix Diagonalgestalt hat, stehen ihre Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.

Für die beiden Kandidaten $(\pm3|\mp4)$ haben die Eigenwerte unterschiedliche Vorzeichen, sodass die Hesse-Matrix indefinit ist und dort kein Extremwert vorliegt.

Für den Kandidaten $(3|4)$ sind beide Eigenwerte positiv, die Hesse-Matrix ist positiv definit, sodass wir ein Minimum vorliegen haben.

Für den Kandidaten $(-3|-4)$ sind beide Eigenwerte negativ, die Hesse-Matrix ist negativ definit, sodass wir ein Maximum vorliegen haben.

Comments

Danke für deine Antwort.Wie die Rechnung mit der Hesse Matrix funktioniert ist mir bekannt, jedoch geht es darum, dass die Zahlen die ich für x und y raushabe anscheinend falsch sind und ich weiß nicht wieso. In der Abbildung kannst du entnehmen, wie ich auf die x und y werte gekommen bin.

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Hast du in der Zeile mit dem Gradienten die Rechnung nicht verstanden?

Jede Komponente des Gradienten muss gleich Null sein. Für die x-Koordinate heißt das:$$x^2-9=0\implies(x+3)(x-3)=0\implies x=\pm3$$Für die y-Koordinate heißt das:$$y^2-16=0\implies (y+4)(y-4)=0\implies y=\pm4$$

Das liefert die vier Kandidaten $(3|4),(3|-4),(-3|4),(-3|-4)$.

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Okey, in der ersten Aufgabe habe ich mich nach folgendem Video:

gehalten und bin auf die Lösung gekommen. Bei dieser Aufgabe funktioniert die gleiche Vorgehensweise anscheinend nicht. Okey. Dann benutze ich hier deinen Rechenweg danke.

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In dem Video hängen beide Komponenten des Gradienten von $x$ und $y$ ab. Daher erhält sie 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, also eine Gleichungssystem. Das löst sie, um $x$ und $y$ zu berechnen.

Hier in der Aufgabe hängt die erste Komponente des Gradienten nur von $x$ und die zweite Komponente des Gradienten nur von $y$ ab. Daher kann man jede Gleichung für sich lösen, um $x$ bzw. $y$ zu ermitteln.

Answer 2

Wenn x²=9 gilt, dann ist x sicher NICHT 4,5 (oder -4,5), denn 4,5² ergibt 20,25 und nicht 9.

Kennst du eine Zahl, die, mit sich selbst MULTIPLIZIERT, 9 ergibt?

Comments

Ich habe hier geteilt durch 2 gemacht damit das hoch 2 vom x verschwindet.

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Damit ist klar, wo der FEHLER liegt. Wieso man dann eine Aufgabe komplett lösen muss, wie es Tschakabumba macht, erschließt sich mir mal wieder nicht. Zumal, wenn explizit danach gefragt wird, wo der FEHLER ist.

Answer 3

x² = 9

Jetzt überlege mal selber welche Zahl x du quadrieren musst um 9 zu erhalten. Ist

4.5 * 4.5 = 9 ???

oder ist evtl.

3 * 3 = 9

natürlich geht aber auch

(-3) * (-3) = 9

oder nicht?

Comments

Achso,

ich dachte quadrieren heißt immer wenn x²= irgendeine zahl steht, das man immer :2 teilt, jetzt weiß ich was du mit quadrieren meinst. Danke!