Bestimmen Sie für $\alpha ∈ (0, ∞)$:

Question

Bestimmen Sie für \( \alpha \in (0, \infty ) \):
\( \int_{0}^{1} y {\alpha} exp({-\alpha y}) \, dy \)

mittels partieller Integration.

Comments

Ich nenne das Polynom \(f\) und die Exponentialfunktion \(g\). Dann beginne ich die partielle Integration mit \(f\) mal der Ableitung von \(g\), aber ich komme nicht zu einer Lösung. Kann jemand bitte eine Lösung posten?

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Poste Deine Rechnung soweit Du gekommen bist. Dann sehen wir weiter.

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}u=y \alpha \\ \alpha u=\exp (-\alpha y) \\ \alpha \int \limits_{0}^{1} \exp (-\alpha y)\end{array} \)

Die Ableitung wird \(y\) eliminieren und das Integral von \(e^t\) übriglassen, aber die Anwendung der Grenzen verwirrt mich.

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Das sind drei unzusammenhängende Ausdrücke. Wende die partielle Integration geordnet an, lass die Grenzen einfach weg. Wenn Du eine Stammfunktion am Ende gefunden hast (und die Probe gemacht hast), dann erst verwendest Du die Grenzen. Vorher nicht.

Answer 1

Aloha :)

$$I=\int\limits_0^1\underbrace{y}_{=u}\cdot\underbrace{\alpha e^{-\alpha y}}_{=v'}\,dy=\left[\underbrace{y}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-e^{-\alpha y}\right)}_{=v}\right]_{y=0}^1-\int\limits_0^1\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\left(-e^{-\alpha y}\right)}_{=v}\,dy$$$$\phantom I=-e^{-\alpha}+\int\limits_0^1e^{-\alpha y}\,dy=-e^{-\alpha}+\left[-\frac1\alpha e^{-\alpha y}\right]_0^1=-e^{-\alpha}+\left(-\frac1\alpha\,e^{-\alpha}+\frac1\alpha\right)$$$$\phantom I=\frac1\alpha-\frac{\alpha+1}{\alpha\,e^\alpha}$$