Steckbriefaufgabe Polynom sechsten Grades

Question

Aufgabe: (Es geht hier um eine Minigolfbahn die eine neue Bahn bauen möchte mit 2 gleich großen Hügeln)

Ermitteln sie jenes lineares Gleichungssystem , mit dem die Funktionsgleichung der Bahnkurve [f(x)=ax^6 +bx^4+cx^2]wird, wenn bekannt ist, dass der Ball an der Stelle x=-1 eine Steigung von m=5/12 zu überwinden hat und die Bahn an der Nullstelle x=1,5 eine waagrechte Tangente besitzt.

Man soll hier nichts lösen - nur das Gleichungssystem ermitteln.

Problem/Ansatz:

Wie beginnt man hier genau?

Answer 1

f '(-1) = 5/12

f(1,5) = 0

f '(1,5) = 0

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die gesuchte Funktion hat die Form:$$f(x)=ax^6+bx^4+cx^2$$Die Ableitung der Gesuchten lautet:$$f'(x)=6ax^5+4bx^3+2cx$$Zur Bestimmung der 3 Unbekannten \(a,b,c\) brauchen wir 3 Eigenschaften der Funktion, die im Folgenden gegeben sind:

1) Die Steigung bei \(x=-1\) beträgt \(\frac{5}{12}\), d.h. \(f'(-1)=\frac{5}{12}\)

2) Bei \(x=1,5\) liegt eine Nullstelle, d.h. \(f(1,5)=0\).

3) Bei \(x=1,5\) liegt eine waagerechte Tangente, d.h. \(f'(1,5)=0\).

Wir formulieren diese Eigenschaften durch Einsetzen in \(f(x)\) bzw. \(f'(x)\):$$6a+4b+2c=f'(-1)=\frac{5}{12}$$$$\left(\frac32\right)^6a+\left(\frac32\right)^4b+\left(\frac32\right)^2c=f(1,5)=0$$$$6\left(\frac32\right)^5a+4\left(\frac32\right)^3b+2\left(\frac32\right)c=f'(1,5)=0$$

Das Gleichungssystem lautet also in Tabellenschreibweise:$$\begin{array}{rrr|c}a & b & c & = &\\\hline\\[-2ex]6 & 4 & 2 & \frac{5}{12} &\\[1ex]\frac{729}{64} & \frac{81}{16} & \frac94 & 0 &\\[1ex]\frac{729}{16} & \frac{27}{2} & 3 & 0 \end{array}$$