Berechnen Sie die Fourier-Transformierten der Funktionen

Question

Aufgabe:

es geht um die Aufgabe c (ii)

Text erkannt:

(c) Berechnen Sie die Fourier-Transformierten der Funktionen
(i) $f(x)=e^{-|x|}$,
(ii) $f(x)=e^{-x^{2} / 2 \sigma_{x}^{2}}$, mit $\sigma_{x}=$ const.

bzw um Fouriertransformationen. ( Siehe Anhang für Aufgabe und eigene Lösung). Schwierigkeiten gibt es bei komplexer e-Funktion. Hoffe es kann jemand helfen!

Text erkannt:

$\text { c) } \begin{array}{l} \quad f(x)=e^{-x^{2} / 2 \theta_{x}^{2}} \\ \hat{f}(h)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2 \theta_{x}^{2}}} e^{-i k x} d x \\ =\lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{(-N}^{N} e^{-\frac{x^{2}}{2 \theta^{2}}} \underbrace{-i h x} d x \end{array}$

Part.Jnd.
$\begin{array}{l} \left.=-\frac{\theta^{2}}{x} \frac{-x^{2}}{e^{2} \theta^{2}} e^{-i 4 x}-\frac{i g g}{x} \int e^{-\frac{x^{2}}{2 \theta^{2}}} e^{-\cdot h x} d x \quad \right\rvert\,+\frac{i h \theta^{2}}{x} \int \ldots \\ \rightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}+\frac{i h \sigma^{2}}{x}\right) \int \limits_{-N}^{N} e^{-\frac{i^{2}}{2 \pi}} e^{-i 2 x} d x=-\frac{\theta^{2}}{x} \ldots \\ \end{array}$

LG

Answer 1

Da gibt es einen Trick, auf den man nicht kommen muss, auf den aber vielleicht in den Teilaufgaben vorher angespielt wurde. Daher stets die Aufgabe mit allen(!) Teilen posten.

Wir setzen $f(t)=e^{-\frac1u t^2}$. Die Schritte sind nun wie folgt:

Beide Seiten ableiten. Danach auf beide Seiten die FT anwenden (Regel für die Ableitung im Zeitbereich). Das ergibt eine einfache Dgl für $F(k)$ ($F$ ist die FT von $f$). Diese lösen. Man braucht dann noch den Anfangswert, den holt man aus $F(0)$, bekannter Wert aus der Normalverteilung.

Ergebnis sollte sein: $F(k)=\sqrt{\frac{u}2}e^{-\frac{u}4k^2}$.

Comments

Tut mir leid kann dir nicht ganz folgen. Der erste Schritt f(t) = e ^{-$\frac{1}{u}$t²}  bezieht sich auf was genau?

---

Wie, bezieht sich auf? Das ist die zu transformierende Funktion, eben $f$.

---

Text erkannt:

$\begin{array}{l} f(t)=e^{-\frac{1}{4} t^{2}} \Leftrightarrow f^{\prime}(t)=\frac{2}{4} t e^{-\frac{1}{u} t^{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{\infty} f^{\prime}(t) e^{-i a t} d t=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int \limits_{-\infty}^{\pi}-\frac{2}{u} t e^{-\frac{1}{4} t^{2}} e^{-i a t} d t \\ =\frac{1}{\sqrt{2 a}} \int-\frac{2}{u} t e^{-\left(\frac{1}{u} t^{2}+i h t\right)} d t\end{array}$

Sorry steht gerad echt aufm Schlauch mit der Erklärung. Hab es jetzt so..

---

Ich les Dir nochmal den Schritt vor: "Danach auf beide Seiten die FT anwenden (Regel für die Ableitung im Zeitbereich)." Auf der linken Seite gibt das $F(k)$, und ...