Beweis zur Konvexkombination

Question

Hallöchen zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Beweisen Sie: Sei X ein Vektorraum, D ⊂ X konvex und ƒ : D → R konvex. Sei ferner

x=\( \sum\limits_{i=1}^{n} \) λ_ix_i

eine Konvexkombination von Vektoren x₁ , ..., x_n ∈ D. Dann gilt

ƒ(x)= ƒ(\( \sum\limits_{i=1}^{n} \)λ_ix_i) ≤ \( \sum\limits_{i=1}^{n} \) λiƒ(x_i)

Über einen Lösungsansatz oder ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen!

Comments

Was ist denn die Definition von "f ist konvex"? Hast Du da schonmal über vollständige Induktion nachgedacht?

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Laut Definition heißt f konvex, wenn gilt:

 ƒ(λx+(1-λ)y)≤λƒ(x)+(1-λ)ƒ(y)

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Man sollte nicht vergessen: lambda zwischen 0 und 1.

Das sieht doch nach einem Induktionsanfang mit n=2 aus....